检查反导数的可确定性？

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假设我有两个函数 $F$ 和 $G$ ，我有兴趣确定是否

F (x) = \int G (x) d x .

$F(x) = \int G(x)dx.$

假设我的函数由基本函数（多项式，指数函数，对数和三角函数）组成，而不是泰勒级数。

这个问题可以确定吗？如果不是，那是不可决定的吗？

（我之所以问是因为我正在教一门关于可计算性的课程，一个学生问我TM是否可以帮助您集成目前未知的函数。我怀疑我们不知道如何集成的函数更多适当的函数，其积分不能表示为上述基本函数的组合，而不是我们实际上不了解积分的函数，但这让我开始思考检查积分的一般问题是否可以确定。）

— templatetypedef
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您似乎在询问符号差异。您可以看看en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computation和en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system。我不清楚您允许哪种功能。您允许哪种构图？例如，是否

F (x) = \sin (\cos (e^{x})) + \log (2 x^{3} + 3)

$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$ 允许吗？我建议您尝试使用递归定义来形式化您关心的函数类。您是否曾尝试查看使用链式规则时会发生什么，并查看是否可以获得处理所有情况的递归算法？

— DW

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由于微分很容易，您实际上是在问我们是否可以确定表达式

是否等于零。这可能是一个较容易找到信息的问题。

F

$F$

— Yuval Filmus 2015年

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您问题的简短答案是“否”。理查森定理及其后续扩展基本上指出，一旦您包括基本三角函数，就应该确定（因此，因为这与不可解。 $f(x) = 0$ $f(x) = g(x)$ $f(x) - g(x) = 0$

有趣的是，实数封闭域的一阶理论是可确定的。直观上，为什么添加三角函数的原因使得一阶系统不可判定是因为你可以构造通过整数，和整数的理论是不可判定。 $\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$

具有的实数封闭域的理论是否可判定是一个相当著名的开放问题。 $e^x$

更有趣的是，如果您有一个“解决”常数问题的oracle（即可以告诉您或否的oracle），则可以确定有限条件下基本函数的积分，并且实用的算法是已知的。因此，给定，我们可以找到或知道在有限项中不存在基本积分。 $f(x) = 0$ $G(x)$ $F(x)$ $G$

— 笔名
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您的问题似乎减少了以下更简单的问题：

给定函数类别中的两个函数，是否对所有都有？（换句话说，它们到处都有相同的价值吗？） $F,G$ $F(x)=G(x)$ $x$

对于此类功能，我不知道这是否可以确定。如果是这样，那么您的问题也应该是可以确定的。

$F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)=G(x)$ $x$

因此关键的一步是象征性的区分。让我们更详细地研究如何做到这一点。我们可以递归定义允许的函数的类：

F (x) ::= c | x | e^{x} | \log (x) | \sin (x) | \cos (x) | \tan (x) | F_{1} (x) + F_{2} (x) | F_{1} (x) \times F_{2} (x) | F_{1} (x) / F_{2} (x) | F_{1} (F_{2} (x))

$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$

其中覆盖常量，而覆盖函数。 $c$ $F,F_1,F_2$

然后有可能设计一种递归算法，以使用微积分的标准规则（例如，链规则等）在符号上区分此类功能。特别是，我们可以处理上述所有情况，并递归地证明派生类可以象征性地表示为此类中的一个函数。例如：

如果，则。 $F(x)=c$ $F'(x)=0$
如果，则。 $F(x)=x$ $F'(x)=1$
如果，则。 $F(x)=e^x$ $F'(x)=e^x$
如果，则。 $F(x)=\log(x)$ $F'(x)=1/x$
如果，则。 $F(x)=\sin(x)$ $F'(x)=\cos(x)$
如果，则。 $F(x)=\tan(x)$ $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$
如果，则。 $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$
如果，则。 $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$
如果，则（连锁法则）。 $F(x) = F_1(F_2(x))$ $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

等等。在每种情况下，如果在允许的函数类别中，则，并且您可以递归计算出的符号表达式-这称为符号微分。 $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)$

最后，剩下的就是检查所有。这就是我在答案顶部提到的问题。 $F'(x)=G(x)$ $x$

有一种简单的方法可以检查两个函数是否相等，我希望它们在实践中能很好地工作。算法是这样的：反复选择的随机值，并检查是否对值成立。如果它对许多随机选择的相等，则输出“它们相等”。如果您发现任何为其中，然后再输出“它们是不同的”。 $x$ $F(x)=G(x)$ $x$ $x$ $x$ $F(x)\ne G(x)$

不能保证这将起作用，但是对于许多类功能，此过程的输出将很可能是正确的。特别地，假设我们在由随机变量表示的上有一些分布，并且，使得对于该类中的所有均成立。此外，假设在减去时关闭了允许函数的类（就像您的类一样）。然后得出上述过程的轮最多以给出错误答案的可能性。 $x$ $X$ $\epsilon>0$ $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ $F$ $r$ $(1-\epsilon)^r$

同样，如果存在用于多项式相等性检验的随机过程，那么这个问题是可以确定的。

还需要问这样的结果是否适合您的特定类的函数。以上声明可能不会成立。但是，如果幸运的话，也许我们可以证明以下内容：

对于所有，也许我们可以找到实数分布，即，随机变量和常数，使得对于您班级中所有具有 “大小”的函数成立。 $s \in \mathbb{N}$ $X_s$ $\epsilon_s > 0$ $\Pr[F(X)=0]$ $F$ $s$

如果这是真的，那么将得出一个用于多项式相等性测试的随机算法，因此您的问题是可以确定的。

— DW
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