PTAS定义与FPTAS

从我在 preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

这是PTAS定义：

问题X的多项式时间近似方案（PTAS）是一种近似方案，其时间复杂度是输入大小的多项式。$X$

和FPTAS定义

问题X的完全多项式时间近似方案（FPTAS） 是一种近似方案，其时间复杂度在输入大小上是多项式，在1 / ϵ中也是多项式。$X$$\epsilon$

然后作者说：

因此，对于PTAS，时间复杂度与成正比是可以接受的。我| 1 /$|I|^{1/\epsilon}$其中$|I|$是输入大小；尽管这次的复杂度是指数级$1/\epsilon$。一个FPTAS不能在呈指数级增长一个时间复杂度$1/\epsilon$但时间复杂度成正比$|I|^8/\epsilon^3$会很好。对于最坏情况的近似，FPTAS是我们可以为NP-hard问题得出的最强结果。

然后，他建议使用下图说明问题类别之间的关系：

这是我的问题：

1. 从PTAS和FPTAS的定义来看，作者如何得出FPTAS的时间复杂度不能以指数增长的结论？如果可以具有这样的时间复杂度，那会有什么区别呢？$1/\epsilon$

2. 像甲时间复杂度是可以接受的FPTAS但它不是用于PTAS，那么为什么FPTAS被认为是一个子集PTAS？$(n+1/\epsilon)^3$

3. 他的意思是：FPTAS是我们可以解决NP难题的最强结果。

4. 总的来说，我想知道这些概念到底意味着什么，以及它们的独特属性是什么。

提前致谢。

让我按顺序回答您的问题：

1. 根据定义，一个问题具有FPTAS如果有一个算法，其长度上的实例$n$给出了一个$1+\epsilon$在-近似和运行在时间多项式$n$和$1/\epsilon$，即$O((n/\epsilon)^C)$为一些恒定$C \geq 0$。的运行时间$2^{1/\epsilon}$不属于$O((n/\epsilon)^C)$对于任何$C$。
   一种算法，其运行时间为$O((n/\epsilon)^C)$比的算法，其运行时间只保证更好$O(n^C e^{D/\epsilon})$，由于在依赖$\epsilon$是第一算法更好。此外，对于任何$E$，我们可以找到一个$1+1/n^E$使用第一算法，但不使用第二（至少不是与所述给定的保证）在多项式时间-近似。

2. 其中的一个问题$1+\epsilon$ -近似可以及时发现$(n+1/\epsilon)^3$绝对是PTAS，因为对于每个$\epsilon$这是$O(n^3)$（运动），并在这样多项式$n$。

3. 作者在这里的意思是，由于不能精确地在多项式时间内解决NP硬优化问题，因此我们所希望的最好是使其在多项式时间内为$\epsilon$近似的，而且对$\epsilon$具有良好的依赖性。。在常见的复杂度类别中，FPTAS对$\epsilon$的依赖性提供了最强的保证。但实际上，有时我们甚至可以得到更好的保证：运行时间是$n$和log （1 / ϵ ）的多项式$\log(1/\epsilon)$。因此，严格说来FPTAS并不是最强的结果。这只是PTAS，FPTAS，P选项中最强的结果。如果我们组成一个新的LPTAS类（对应于$n$和$\log(1/\epsilon)$时间多项式），那将是一个更有力的保证。

4. 给定一个NP困难的优化问题，它不能在多项式时间内完全解决；最好的希望是有效地对其进行近似。有些问题是NP难以近似到某个常数$C>1$。对于其他问题，可以在多项式时间内任意近似地解决问题，并且这些问题具有PTAS，因此属于PTAS类。这可能是一个$1+\epsilon$ -近似需要时间成正比$e^{1/\epsilon}$，所以我们只能有效地应用这个恒定$\epsilon$。如果问题具有FPTAS（因此属于FPTAS类），那么我们知道对ϵ的依赖$\epsilon$仅是多项式，所以可有效地近似于内$1+1/n^C$任何$C$。

设实例大小为。PTAS和FPTAS之间的区别在于，在前者中ϵ是固定常数，因此可以将其视为常数。这就是为什么一个运行时间如ñ 1 / ε仍处于实例大小多项式Ñ（也在输入大小ε是一个固定的常数反正）。在FPTAS中，ϵ不固定。的近似方案必须是多项式1 / ε以及Ñ（即，p ö 升Ý（Ñ ，1 $|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$作为 ñ 4（1 / ε ）3 +显然不多项式 Ñ和 1 / ε。因此，这种近似方案是PTAS，而不是FPTAS。$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$）。运行时间，例如 n 1 /$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$