随机可熔堆-预期高度

随机可熔堆具有一个“混合”操作，然后我们将其用于定义所有其他操作，包括插入。

问题是，具有节点的那棵树的期望高度是多少？$n$

Gambin和Malinkowski的定理1，随机可融合优先级队列（SOFSEM论文集，计算机科学讲座，第1521卷，第344-349页，1998；PDF）给出了该问题的答案。但是，我不明白为什么可以这样写：

$$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$$

对我来说，树的高度是

$$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$$

我可以扩展为：

$$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$$

可以使用总概率定律重写两个子树的高度的最大值等于$k$的概率：

$$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$$

所以最后我得到：

$$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$$

这就是我卡住的地方。我可以看到大致等于（但是我们最多需要） 。但是除了从一开始就没有导致公式化的东西。$\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$$\frac{1}{2}$$\leq \frac{1}{2}$

子树的高度似乎并不独立于我。

感谢帮助。

在本文中，不是高度。这是在完整的二叉树中从根部随机走出的长度（它们坚持每片叶子都是“零”），因此它们具有的表达是正确的。$h_Q$

另外，您可以避免感应。在深度为的特定叶子处结束的概率仅为。因此，预期的步行时间为$d$$2^{-d}$

$$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$$

分布的熵。$|\text{leaves}(Q)|$