证明二叉树最多具有

我试图证明具有n个节点的二叉树最多具有\ left \ lceil \ frac {n} {2} \ right \ rceil叶子。我将如何通过归纳法做到这一点？$n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

对于那些最初关注堆的人来说，它已经移到了这里。

我现在假设问题如下：

给定具有节点的二叉树，请证明它最多包含叶子。⌈ $n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

让我们使用树定义。对于这样的树，令为的节点数，为的叶数。Ť Ñ Ť Ť 升Ť$\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$$T$$n_T$$T$$l_T$$T$

通过归纳法这样做是正确的，但是您将需要遵循树结构的结构归纳法。对于树木，这通常是对树木的高度 的完全归纳。$h(T)$

感应锚有两个部分。首先，对于我们有其中；索赔显然适用于空树。对于，即，我们同样具有，因此该声明适用于叶子。Ť = Ë 米p 吨Ŷ 升Ť = Ñ Ť = 0 ħ （吨）= 1 Ť = 大号Ë 一个˚F 升Ť = 1 = ⌈ Ñ $h(t)=0$$T=\mathrm{Empty}$$l_T=n_T=0$$h(t)=1$$T = \mathrm{Leaf}$$l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

归纳假设是：假定该权利要求适用于所有（二进制）树木用，任意的而非固定的。ħ （Ť ）≤ ķ ķ ≥ $T$$h(T)\leq k$$k\geq 1$

用于感应步骤中，考虑任意的二进制树用。作为，和。由于和也是二叉树（否则不会是）和，归纳假设适用并具有ħ （Ť ）= ķ + 1 ķ ≥ 1 Ť = Ñ Ö d ë（大号，- [R ）ñ Ť = Ñ 大号 + ñ - [R + 1 大号ř Ť ħ （大号），ħ （[R ）≤ $T$$h(T)=k+1$$k\geq 1$$T=\mathrm{Node}(L,R)$$n_T = n_L+ n_R+1$$L$$R$$T$$h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

由于所有叶子都在或，所以我们有大号$T$$L$$R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

标记为的不等式可以通过（四种方式）是否区分区分。通过归纳的力量，得出结论。$(*)$$n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

作为练习，您可以使用相同的技术来证明以下语句：

• 每个高度为理想二叉树都有节点。$h$$2^h-1$
• 每个完整的二叉树都有奇数个节点。

这个问题让我有些困惑。如果您对最多度的树感兴趣，这是Wikipedia想要的，那么我们会遇到一个问题，即单个边具有节点和叶子，但是。无论如何，这里有一个简单的论点。 $3$$n=2$$n=2$$n/2 = 1$

令为具有节点和叶子的树。由于是一棵树，所以有边，并对其进行两次计数，我们看到 表示 并且这两个紧上面的-vertex示例。我猜想，如果您想假设存在一个2度和，那么您可以优化此参数以得到 ，这正是您要查找的，而当树已满。$T$$n$$L$$T$$n-1$