如何证明？

这是乌迪·曼伯（Udi Manber）书中的一项家庭作业问题。任何提示都很好:)

我必须证明：

$n(\log_3(n))^5 = O(n^{1.2})$

我尝试使用本书的定理3.1：

$f(n)^c = O(a^{f(n)})$ （对于，） $c > 0$ $a > 1$

替代：

$(\log_3(n))^5 = O(3^{\log_3(n)}) = O(n)$

但是 $n(\log_3(n))^5 = O(n\cdot n) = O(n^2) \ne O(n^{1.2})$

感谢您的任何帮助。

asymptotics landau-notation mathematical-analysis

— 安德烈·雷森德
source

您可以使用哪些方法？看一下这个答案，它可能会给您一些想法。另外，这里还有很多有用的信息。

— Ran G.

@RanG。是否应根据相关问题解决此问题

— Suresh'4

@Suresh我不确定。我担心，如果不这样做，我们就会被这样的问题所淹没（也许应该更适合数学）。但这是一个有效的问题。

— Ran G.

@RanG。我尝试了限制，但没有成功。。–

— Andre Resende

@RanG .： math.SE已经被这些问题充斥，大多被标记为“算法”。

— 路易（Louis）

Answers:

做您的工作，但是让 ...应该这样做，对吗？ $a = (3^{0.2})$

您所做的不起作用的原因如下。大界限并不紧密；第五个对数的确是线性函数的大数，而第五个根函数的对数也大。您需要这个更强的结果（也可以从定理中得到）来做您正在做的事情。

— 帕特里克87
source

实际上，对于任何，

ϵ > 0

$\epsilon >0$

n \log^{c} n = O (n^{1 + ϵ})

$n \log^c n = O(n^{1+\epsilon})$

— 冉

@RanG。是的，那是定理的直接结果。

— Patrick87

@AndreResende如果我的回答可以帮助您解决问题，并且这很有意义，那么您可以使用绿色的复选标记“接受”。它可以帮助其他人了解对您有用的东西，并可能在将来帮助您获得更多帮助。当然，如果您需要其他答案，请坚持。

— Patrick87

另一种更直观地思考它的方法是，看到您必须显示的主要内容是为，或者等效地，为。日志的增长总是慢于n的任何恒定幂，无论大小如何。 $(\log_3(n))^5$ $O(n^{0.2})$ $\log_3(n)$ $O(n^{0.04})$

如果要对最后一句进行形式化，则可以使用定理3并使用足够小的如@RanG在@ Patrick87答案的注释中提到的。 $\alpha$

— 阿特姆·卡兹纳切夫（Artem Kaznatcheev）
source

如何证明 ？