世袭阶层的全球属性？

遗传结构类别（例如图形）是在诱导子结构下封闭的类，或者等效地在顶点移除下封闭的类。

排除未成年人的图类具有不错的属性，这些属性不依赖于特定的已排除未成年人。马丁·格罗（Martin Grohe）指出，对于不包括次要图的图类，存在用于同构的多项式算法，带有计数的定点逻辑捕获这些图类的多项式时间。（Grohe， 带有未成年人的图上的定点可定义性和多项式时间，LICS，2010年。）这些可以被认为是“全局”属性。

世袭类（图形或更一般的结构）是否有类似的“全局”属性？

最好看到每个答案都集中在一个特定的属性上。

在以下意义上，遗传特性非常“健壮”。

诺加·阿隆（Noga Alon）和阿萨夫·夏皮拉（Asaf Shapira）表明，对于任何遗传特性，如果图G需要添加或移除多于ϵ n 2个边来满足P，则G中会有一个子图，其大小最大为f P（ε ），其不满足P。在此，函数f仅取决于属性P（例如，不取决于图形G的大小）。Erdős仅对k可着色性进行了这样的推测。${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

事实上，阿龙和夏皮拉证明下面的更强的事实：给定的，对于任何ε在（0 ，1 ），有Ñ （ε ），ħ （ε ）和δ （ε ），使得如果一个图ģ具有至少Ñ顶点，并且需要添加/移除至少ϵ n 2个边才能满足P，然后对于h个顶点上至少δ的归纳子图分数，归纳子图违反${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$。因此，如果 ϵ和属性 P是固定的，则为了测试输入图是否满足 P或 ϵ-远不满足 P，则只需要从图中查询恒定大小的随机诱导子图的边缘，并检查是否满足该属性。这样的测试器将总是接受满足曲线 P和将拒绝曲线图 ε从具有恒定概率满足它-far。此外，在这种意义上可单方面测试的任何属性都是遗传属性！有关详细信息，请参见Alon和Shapira的论文。${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

这可能与您的想法不完全相同，但是已知在遗传的一类图上个顶点上可以有多少个图存在一些限制。例如，不存在遗传性类图的具有间2 Ω （Ñ ）和2 ø （Ñ 登录Ñ）上的曲线图Ñ顶点。$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

参考：E。Scheinerman，J。Zito，关于图的遗传类的大小，《组合理论杂志》系列B

这与特拉维斯的答案有关。实际上，可以认为它是更强大的版本。

甲纸张通过Bollob \“作为和托马森（Combinatorica，2000）表明，在一个Erd \ħ{ö} SR \”恩义随机图（用p一些固定的常数），每遗传属性可以由什么近似它们称为基本属性。基本几乎是指其顶点集是r类的并集的图，其中s跨度是团，而r - s跨度是独立集，但不完全相同。该近似用于表征最大的大小P -set以及所述P的-chromatic数ģ Ñ $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$，其中 P是一些固定的遗传属性。如果允许p改变，则该行为不是很容易理解。$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

为了获得更多有关这项工作和相关工作的背景资料，Bollob'as进行了一项调查（ICM，1998年），该调查也对这些图给出了诱人的猜想，但对于超图。

我发现世袭特性与Szem'eredi的规律性引理之间的深层联系非常有趣，因为在这里以及在Alon和Shapira结果中都使用了它。

苏雷什关于AKR猜想的答案让我思考了关于遗传特性的相同猜想。我认为（除非我犯了一个错误），我可以证明所有非平凡的遗传属性都具有（随机的和确定性的）决策树复杂度，它可以解决此类属性的AKR猜想（不超过常数）。$\Theta(n^2)$

我试图搜索文献以查看是否已在某处显示，但找不到参考文献。所以要么我找不到它，要么它存在，或者该定理没有意思，或者我犯了一个错误。

因此，这是所有遗传图属性的全局属性的另一个示例。

根据Erdős–Hajnal猜想，每个世袭家族都具有以下性质：其中的图具有簇或独立的多项式大小集（即，对于c > 0的取决于家族而不是家族图）。这与随机图相反，在随机图中，最大的集团和最大的独立集合都是对数的。$\Omega(n^c)$$c>0$

这是“反向”方向，但是众所周知的Aanderaa-Rosenberg-Karp猜想适用于单调向上的图属性（即，如果G满足该属性，则在其边集包含E（G ））。