树宽和包装

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我的问题有点含糊。我一直在想，是否可以（以及如何）将树宽概念应用于图形中的打包问题。

我很乐意对以前的研究工作有任何见解或参考（假设它们之间存在某种联系）。谢谢。

— 尼基尔
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我可以用两种不同的方式解释这个问题：

1）关于有界树宽图上的打包问题的算法性质，Courcelle定理表明对于每个固定 $k$ 我们可以最多在树宽图上以线性时间最优地解决Monadic二阶逻辑中可表示的问题 $k$ （有关有界树宽图的算法属性的调查，请参见例如http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037）。由于MSOL中可以解决许多堆积问题，因此证明了有界树宽图上许多此类问题的可处理性，包括独立集，三角形堆积，循环堆积，任何固定图的顶点/边不相交副本的堆积，顶点不相交的次要模型的包装一些固定图H等等。但是，由于这种易处理性扩展到了所有MSOL可定义的问题，因此它并不特定于包装。

2）当涉及包装和树宽之间的图形结构关系时，可能需要注意以下内容。由于罗伯逊和西摩的工作，我们知道有一个功能 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 这样每个树宽图至少 $f(r)$ 包含一个 $r \times r$ 作为未成年人的网格（原始绑定 $f$ 由西摩和罗伯逊提供，后来与托马斯合作得到改善。有关最新最佳绑定，请参见http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732）。因此，如果您有一个结构 $S$ 这样的许多副本 $S$ 可以包装成一个 $r \times r$ 网格次要，那么您知道任何大树宽的图形都包含大量的 $S$ 。例如，作为 $r \times r$ 网格（甚至 $r$ ）包含 $(r/2)^2$ 顶点不相交的循环，因此得到一个树宽图 $f(r)$ 至少包含 $(r/2)^2$ 不相交的周期。

— 巴特·詹森
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巴特这可能是无关紧要的，但是您看到图重建与其树宽之间有任何关系吗？您是否还链接到专业论文的免费版本？（有界树宽图的组合优化）

— Saeed

可以在Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561上找到树宽纸。至于图重建：您的意思是给定通过删除单个顶点而获得的所有子图的多个集合的重构原始图的过程？似乎希瓦·金塔利（Shiva Kintali）最近研究了以下问题：图形重构猜想对于树宽2是否正确：cstheory.stackexchange.com/questions/5155/…。

— 巴特·詹森

谢谢巴特，是的，我看到了湿婆的问题，但是，一年以前，可能会有任何新的结果，谢谢。

— 2012年

Shiva的网站列出了有关该主题的两份手稿，“关于正则图的k树和树的重建”和“新的可重构图属性”，并带有注释“ pdf即将推出”（cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon）。您可以直接与他联系，询问有关当前技术水平的信息。

— 巴特·詹森

此答案之后，是确保树宽所需的最佳树宽范围

r \times r

$r \times r$ Kawarabayashi和Kobayashi改进了网格未成年人到

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$ 在dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278中，Seymour声称对

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$ 在2012

— AndrásSalamon

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最大独立集问题是一个打包问题（您可以将其视为打包不相交的星星），并且它具有运行时间众所周知的算法 $2^k \operatorname{poly(n)}$ 在最多树宽的图中 $k$ 。

— 珍妮·科洪宁
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感谢Janne的回复。我知道MIS算法。除MIS外，树宽的概念是否已应用于其他结构的打包？另外，我并不完全相信MIS是散乱星的堆积，请问您对此有何解释？（您要打包哪种恒星结构，“不连续的恒星”的概念是什么）？

— Nikhil

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发布答案时，它并不像我想的那么简单。“包装边缘不相交的恒星”会更合适，然后您必须要求任何放置的恒星都具有尽可能大的度数。我不记得看到树宽应用于任何更复杂的打包问题。

— Janne H. Korhonen'2

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在通常的术语中，最大独立集无疑是一个“打包问题”。包装问题的另一个示例是最大匹配。（他们是打包整数程序； LP放松是打包LP。）

— Jukka Suomela 2012年

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布鲁斯·里德（Bruce Reed）的以下调查文章是有关此主题的绝妙参考。

里德湾（1997）。树的宽度和缠结：一种新的连通性度量和一些应用程序。组合调查，241，87-162。

我最近的一篇论文允许通过树宽分解定理在某些情况下绕过网格最小定理。请参阅下面的纸张。

大树宽图的分解及其应用 http://arxiv.org/abs/1304.1577

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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这也是一个模糊的答案。有界树宽图具有类似于Erdos-Posa定理的对偶性。例如，参见Fedor V. Fomin，Saket Saurabh，Dimitrios M. Thilikos：加强次封闭图类的Erdös-Pósa属性。图论学报66（3）：235-240（2011）

— R2-D2
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