从分隔符查询重构树

假设是一棵不知道其结构的恒定度树。问题是通过询问以下形式的查询来输出树：“节点是否位于从节点到节点的路径上？”。假设每个查询都可以由Oracle在固定时间内回答。我们知道的值，即树中节点的数量。目的是使输出树所需的时间最小化为。 $T$ $T$ $x$ $a$ $b$ $n$ $n$

是否存在针对上述问题的算法？ $o(n^2)$

假设中任何节点的度数最大为3。 $T$

我知道的

有直径的情况很容易。如果树的直径为，则可以得到分治算法： $D$

任何二叉树都有一个很好的分隔符，可以将树分成大小不小于1 / 3n的分量。

选择任何顶点x。如果它是一个很好的分隔符，则标签并递归。
找到x的所有3个邻居。
向节点数最多的邻居方向移动。与邻居重复步骤2。

由于找到分隔符最多需要步，因此我们得到了算法。 $D$ $O(nD\log n)$

一个随机化算法 $O(n\;\log^2 n)$ 。（从下面的评论中删除）

随机选择两个顶点x和y。它们以1/9的概率位于分隔符的相对侧。选择从到的路径的中间节点。看看是否是分隔符，如果不是，则执行二进制搜索。 $x$ $y$

查找分隔符需要预期时间。这样我们得到了随机算法。 $O(n\;\log n)$ $O(n\;\log^2 n)$

背景。我从一个在概率图形模型中工作的朋友那里得知了这个问题。上面的问题大致对应于使用一个预言机学习结点树的结构，该预言机在给定三个随机变量X，Y和Z的情况下，可以根据给定的Z值来判断X和Y之间的互信息的值。为零，我们可以假设Z位于从X到Y的路径上。

— 贾加迪什语
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请透露您对这个问题的了解，因此我们不会浪费时间重新设计轮子。

— 杰夫斯2012年

@Jɛﬀ E我已经编辑了我的问题。

— Jagadish 2012年

Answers:

否。以下简单的对抗策略意味着，重建节点树的任何算法都至少需要 “中间”查询。 $n$ $\binom{n-1}{2} = n(n-1)/2$

任意标记节点。对手回答所有查询，就好像树是中心为顶点的星形。将视为根，将其他节点视为其子代。 $0,1,2,\dots,n-1$ $0$ $0$

Between?(a,x,b)
    if x=0 return TRUE else return FALSE

现在，假设算法在执行少于查询后停止。然后必须有两个顶点和，都不等于零，这样该算法就不会查询三元组任何排列。如果算法声称树不是中心为的星星，则对手会透露其输入，从而证明算法是错误的。对手然后发现实际上是的唯一子，再次证明算法是错误的。 $n(n-1)/2$ $y$ $z$ $(0,y,z)$ $0$ $x$ $y$

更新：糟糕，刚注意到度约束。幸运的是，这并不是主要障碍。用您喜欢的二叉树替换节点，其他节点以未知顺序替换为叶子，然后将该子树显示给重构算法。重建生成的节点二叉树仍然需要至少查询。等效地，重建节点二叉树至少需要查询。（我确信，更细微的构造会改善常数。） $0$ $n-1$ $(2n-3)$ $n(n-1)/2$ $m$ $(m+3)(m+2)/8$ 正如贾加迪什（Jagadish）所指出的，这种概括是行不通的。有关树中内部节点的查询在叶子上施加了顺序，从而减少了必要查询的数量。

— 杰夫斯
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我的问题是关于恒度树。这种说法不适用于那种情况，对吗？

— Jagadish 2012年

@Jagadish：（1）我不认为这种下界的证明适用于随机算法。对手仍然可以构造一个失败的例子，但这与随机算法以高概率正确工作的假设并不矛盾。（2）顺便说一句，您似乎在知道答案的情况下问了这个问题。你出于什么目的这样做？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

我知道了。感谢您的解释，也感谢您编辑问题！

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

如果您有一个随机算法，那么您就有一个算法。确定性被高估了。

— 杰夫斯

这个问题使我想起了螺母/螺栓的分类/匹配。在时间内以高概率运行的随机算法很容易-只是随机quicksort。有确定性的 -time算法，但是它非常重要。

O (n \log n)

$O(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— 杰夫斯

Anindya Sen和我在ALT '13上发表了一篇论文，在这篇论文中我们针对此问题给出了算法。我们不知道是否可以使用更好的算法。 $\tilde O(n \sqrt{n})$

— 贾加迪什语
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