检查公式有两个量词（

SAT求解器提供了一种强大的方法，可以使用一个量词来检查布尔公式的有效性。

例如，要检查的有效性，我们可以使用SAT解算器来确定是否可满足。要检查的有效性，我们可以使用一个SAT解算器，以确定是否是可满足的。（这里是布尔变量的向量，并且 $\exists x . \varphi(x)$ $\varphi(x)$ $\forall x . \varphi(x)$ $\neg \varphi(x)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$ $n$ $\varphi$ 是一个布尔公式。）

QBF求解器设计为使用任意数量的量词检查布尔公式的有效性。

如果我们有一个带有两个量词的公式怎么办？它们是否是用于检验有效性的有效算法：比仅对QBF使用通用算法更好的算法？更具体我有如下形式的公式（或），并要检查它的有效性。有什么好的算法吗？ 编辑4/8：我了解到这类公式有时也称为2QBF，所以我正在寻找2QBF的良好算法。 $\forall x . \exists y . \psi(x,y)$ $\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

进一步专长：在我的特殊情况下，我有一个形式为我要检查其有效性，其中是产生位输出的函数。是否有任何算法可以比常规QBF算法更有效地检查这种特殊公式的有效性？ $\forall x . \exists y . f(x)=g(y)$ $f,g$ $k$

PS：在复杂性理论上，我并不是在问最坏情况的硬度。我问的是实用的算法（就像现代SAT求解器在许多问题上实际上都是有用的，即使SAT是NP完全的）。

— DW
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不是本质上等价于

。

\forall x \exists y ψ (x, y)

$\forall x \exists y \ \psi(x,y)$

\exists x \forall y ψ (x, y)

$\exists x \forall y \ \psi(x,y)$

— 哈克贝内特

我认为OP的非正式含义是，这对于SAT求解器来说都是困难的，并且解决这两个问题都将很有趣

— Suresh Venkat 2012年

@HuckBennett，我认为两者具有相同的硬度。（证明：

是有效的当且仅当

因此，如果我们有办法形式的公式测试的有效性。

，我们也能公式的正确性测试

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

\neg \forall x . \exists y . \neg ψ (x, y)

$\neg \forall x . \exists y . \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi(x,y)$

通过使

和测试的有效性

。）但是无论如何，我对这两种情况的算法都感兴趣。

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

ψ^{'} (x, y) = \neg ψ (x, y)

$\psi'(x,y) = \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ^{'} (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi'(x,y)$

— DW 2012年

@DW，不一定，例如，SAT和TAUT不被认为具有相同的复杂性。

— 卡夫

@chazisop：我觉得OP是要求

-SAT算法/解算器，不是一般的QBF求解。但是，确实存在大量QBF求解器。请参阅qbflib.org上的“求解器”选项卡

Π_{2} / Σ_{2}

$\Pi_2/\Sigma_2$

— Huck Bennett

Answers:

如果我可以公然宣传自己，我们就去年发表了一篇有关 2QBF的基于抽象的算法的文章。我有一个qdimacs的实现，如果您愿意的话，我可以提供，但是根据我的经验，可以通过专门针对特定问题的算法极大地受益。还有较早的论文《 2QBF算法的比较研究》，也提出了相当容易实现的算法。

— 米科拉斯
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太棒了！谢谢，米科拉斯，这只是我所希望的那种事情。

— 2012年

嗨@DW很高兴能为您提供帮助。希望您会发现其中一些有用的东西。QBF与SAT是完全不同的野兽，因此必须小心一点，因为事情很容易炸开：-)。如果您对我们的工作有任何更详细的问题，请随时给我写电子邮件。

— Mikolas 2012年

我已经阅读了两篇与此相关的论文，其中一篇与2QBF特别相关。论文如下：

增量确定，Markus N.Rabe和Sanjit Seshia，满意度测试的理论和应用（SAT 2016）。

他们已经在名为CADET的工具中实现了自己的算法。基本思想是向公式中逐步添加新约束，直到约束描述了唯一的Skolem函数或直到确认不存在。

第二个是增量QBF解决，Florian Lonsing和Uwe Egly。

在名为DepQBF的工具中实现。它对量词替换的数量没有任何限制。首先假设我们有一个密切相关的qbf公式。它基于增量求解，并且不会抛出在上次求解中学到的子句。它将子句和多维数据集添加到当前公式，并在子句或多维数据集为空（表示未饱和或饱和）时停止。

编辑：只是一个角度，这些方法对于2QBF基准的效果如何。请查看QBFEVal-2018的结果以获取年度QBF竞赛QBFEVAL的结果。在2019年，没有2QBF轨道。

在2QBF轨道 QBFEVAL-2018 DepQBF 是赢家，CADET是第二次在比赛中。

因此，这两种方法实际上在实践中效果很好（至少在QBFEVAL基准上）。

— 普什帕
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$\exists x \forall y \phi$ $D$ $a \in D$ $\neg \phi[a/x]$ $b \in B$ $a$ $\phi [b/y]$ $\phi$

— 塞缪尔·施莱辛格
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ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

很好，如果您斜视就可以与对抗机器学习进行类比，并且它确实适用于您拥有各种求解器的任何互补晶格

— Samuel Schlesinger