直接乘积定理的变体

的直接产物定理，非正式地说，计算的函数的实例比计算更难一次。˚F $k$$f$$f$

典型的直接乘积定理（例如，Yao的XOR引理）着眼于平均情况的复杂性，并辩称（非常粗略地）不能由大小为的电路以概率大于来计算，那么副本就不能由大小为电路的概率比。s p k f s ' < s p $f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

我正在寻找不同类型的直接乘积定理（如果已知）。特别：

（1）说我们确定了误差的概率$p$，而是对计算$k$的f个副本所需的电路的te大小感兴趣$f$。是否有说，如果结果$f$不能由大小的电路计算$s$的概率优于$p$，然后$k$拷贝$f$不能与概率优于来计算$p$使用尺寸的电路小于$O(k \cdot s)$？

（2）关于最坏情况的复杂性已知什么？例如，如果无法通过大小为s的电路来计算$f$（具有0个错误），那么对于计算k个f（具有0个错误）的副本的复杂性，我们能说什么呢？$s$$k$$f$

任何参考将不胜感激。

（1）：这个问题在Ronen Shaltiel的论文“迈向证明强直接乘积定理”中得到了研究，结果证明这样的猜想是错误的：例如，可以用概率计算大小远小于，并且只有额外的概率质量才需要大小。在这种情况下，当计算实例上的时，电路可以在尺寸小于大多数实例上求解，并且仅在少数几个实例上需要。0.99 * p s 0.01 * p s f k f s $f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

（2）：对于公式和单调电路，已知最坏情况复杂性的直接乘积定理，但对于一般电路，实际上是错误的。举一个简单的例子，考虑一个函数，将其输入视为向量并将其乘以某个固定的布尔矩阵。然后，计算函数 可能需要大小，但是使用矩阵乘法算法，在实例上计算它可以比快得多。您可以在Ingo Wegener撰写的“布尔函数的复杂性”一书中找到有关此主题的详尽讨论-请参阅此处的第10.2章： Ñ × Ñ ˚F Ñ 2 Ñ Ñ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/。

为了补充Or的回答，研究了（1）[需要多少资源才能在k副本上做得很好]之类的问题，并将相应的定理称为“直接和定理”。与直接乘积定理一样，直接和定理可能成立也可能没有成立，这取决于设置。