确定图同态

通常，确定图同态是NP-Complete。

当基础图具有代数结构时（例如确定从Cayley或Cayley coset图到同构其他图的同构性），是否有任何研究此问题的结果？除了复杂性结果外，我还对有用的代数和/或频谱技术感兴趣。

如果是一类具有有界树宽图形，那么同态问题从图表在ģ是多项式时间可解的。这可以归结为“核心已限制树宽的图”的更一般属性。$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$

Grohe证明是相反的：如果图的核心具有无穷大的树宽，则G中的同态问题不是多项式时间可解的（假设F P T ≠ W [ 1 ]）。因此，如果将左侧图限制为Cayley图等，那么重要的是核心是否有界树宽。$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$$FPT\neq W[1]$

http://dl.acm.org/authorize?951212

请注意，这并不能完全回答您的问题：在Grohe的结果中，假定右侧图是任意的。您似乎对右侧图也仅限于某些特定类图的结果感兴趣。

确定图是否同态要比计算（加权）图同态的数量容易。

加权案例

对于无向目标图（即，从输入图G到H的加权图同态的数目），存在二分法定理。$H$$G$$H$

蔡金一，陈曦，卢品言。具有复数值的图同态：一个二分法定理。

也就是说，每个目标图都定义了＃P-hard或多项式时间可计算的计数问题（请参见定理1.1）。$H$

很难解释哪些图定义了多项式可计算的问题（有关定理，请参见定理5.7，有关条件的索引，请参见第4页），但是确定目标图H是否定义了简单的问题，也可以通过多项式时间进行计算。（请参见定理1.2）。$H$$H$

易处理性源于有效地计算一系列变量的指数和的能力，这些变量对q进行模化，这些变量在单位为q的第q个根的指数中形成二次多项式，其中q为质数（请参阅第12节的开头）。$q$$q$$q$

未加重情况

未加权的情况要简单得多。下面，我根据以下论文陈述定理1.1。

凯瑟琳·格里希尔（Martin Dyer）和凯瑟琳·格里希尔（Catherine Greehill）。图同态计数的复杂性。（也可以直接链接到免费的PDF。）

定理1：

$H$$H$$H$