涉及随机图的差异变体

假设我们有一个图 $n$节点。我们想为每个节点分配一个$+1$ 或 $−1$。将此称为配置$\sigma \in \{+1,−1\}^n$。的数量$+1$我们必须分配的正是 $s$ （因此， $−1$s是 $n−s$。）给定配置 $\sigma$，我们看每个节点 $i$ 并求和分配给其邻居的值，称为 $\xi_i(\sigma)$。然后，我们计算其中的节点数$\xi_i(\sigma)$ 是非负的：

您可以使用“第二矩方法”计算来解决此问题，类似于我在“随机阈值满足问题的尖锐阈值”（离散数学 285 / 1-3（2004），301-305）中使用的方法。

当平均度增长到足够大的恒定时间时 $\log n$，这种方法通常足以精确地找到可满足性的阈值。尽管我没有对此进行研究，但它也可能显示出在不满足要求的情况下可以满足的部分子句。

为了使您的问题看起来更像我的一般问题，您可以将其视为“ MAX-AT-LEAST-HALF-SAT”，并在CNF公式的子句中添加特殊的图形结构。我认为这种特殊结构不会对最坏情况的分析有所帮助，并且由于您的子句大小不一致且“不良”分配集越来越大，因此您必须进行计算并查看它是否仍然有效。

让我详细说明一下。首先，这与差异相似，但是在某些方面当然有所不同。给定一个系统$m$ 套 $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$，系统的差异是 $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$。让我们来表示$\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$。您的定义有所不同，因为您想知道多少套$\sigma(S_j)$ 是积极的，差异问有多大 $\sigma(S_j)$最坏情况下的数量级。快速入门，也许我的抄写员可以提供帮助。Chazelle有一本不错的书，里面有很多细节。

对于一个简单的概率下界 $s > n/2$，就像我的评论一样，给定一个图表 $G = ([n], E)$ 带度数序列 $\delta_1, \ldots, \delta_n$，您可以选择 $\sigma$ 从所有序列均匀地随机 $s$ $1$的（ $\sigma_i$不是独立的，但在这种情况下也有可能证明切尔诺夫界。我们有$E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ 然后，在切尔诺夫（Chernoff）的边界 $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ 对于一些常数 $C$。所以$E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$。所以存在一些$\sigma$ 达到这个界限。

编辑：似乎您对此案感兴趣 $s < n/2$。让我们选择$\sigma$以与上一段相同的方式随机进行。使用中心极限定理的一个版本进行采样而无需替换（$\sigma$ 是大小的样本 $s$ 而不是从图的顶点进行替换），您应该能够证明 $\xi_i(\sigma)$ 表现像高斯 $\delta_i (2s/n - 1)$ 和关于 $\delta_i$，所以 $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ 对于一些C和 $\eta(n)$中心极限定理中的错误参数。我们本应该$n\eta(n) = o(n)$，因此您可以 $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$。

免责声明：仅在以下情况下才有意义 $\delta_i$ 恒定/小或 $s/n$ 非常接近 $n/2$。同样，计算有些启发，不是很仔细地完成的。