测试值与计算函数的复杂性

36

通常，我们知道测试功能是否在给定输入中采用特定值要比评估该输入中的功能容易。例如：

评估非负整数矩阵的永久性是＃P-hard的，但是在P中（二分匹配）就可以确定该永久性为零还是非零。
有n个实数，使得多项式具有以下性质（事实上大多数套实数将具有这些特性）。对于给定的输入，测试此多项式是否为零将进行乘法和比较（根据Ben-Or的结果，因为零集具有 $a_1,...,a_n$ $\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$ $n$ $x$ $\Theta(\log n)$ $n$ 分量），但评估上述多项式至少需要步骤，由Paterson-Stockmeyer进行。 $\Omega(\sqrt{n})$
排序需要（也步上一个比较树由Ben-Or的结果，对一个真正的代数决策树的步骤，再次），但如果列表排序测试仅使用的比较。 $\Omega(n \log n)$ $\Omega(n \log n)$ $n-1$

多项式上是否存在一般条件，足以暗示测试多项式是否为零的（代数）复杂度等于评估多项式的复杂度？

我正在寻找不依赖于事先了解问题复杂性的条件。

（澄清10/27/2010）要清楚，多项式不是输入的一部分。这意味着，给定固定的函数族（每个输入大小一个（位长或输入数）一个），我想比较语言/决策问题的复杂性具有评估函数的复杂性。 $\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

澄清：我在问评估/测试多项式族的渐近复杂性。例如，在固定字段（或环，如）“永久”是不是一个单一的多项式，但一个无限家庭，其中是永久的该场（或环）上的一个矩阵。 $\mathbb{Z}$ $\{perm_{n} : n \geq 0 \}$ $perm_{n}$ $n \times n$

cc.complexity-theory reference-request algebraic-complexity

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

您问题的答案不仅不仅取决于多项式本身，还取决于其表示形式吗？

— ilyaraz 2010年

@ilyaraz：不确定你的意思。多项式不是输入的一部分。

— arnab 2010年

约书亚（Joshua），您可以将问题“放宽”以提高可读性吗？

— Suresh Venkat 2010年

4

我找到了Valiant（dx.doi.org/10.1016/0020-0190 ( 76 ) 90097-1）的论文“检查和评估的相对复杂性”，该论文考虑了实质上相同的问题，但在标准Turing机器设置中，而不是代数设置。他没有回答我的问题，但是如果您发现这个问题很有趣，那么您可能还会发现他的论文很有趣。

— 约书亚·格罗夫

1

马可夫斯基的“费弗曼-沃德定理的算法使用”可能是相关的。他通过对图上MSOL可定义的结构求和来定义多项式，并表明当图受树宽限制时，它们很容易评估

— Yaroslav Bulatov

4

在，零测试和评估在以下意义上几乎“相同”：假设您有一个决策树，用于测试某些不可约多项式是否为非零。我们正在上工作，因此我们只能测试是否相等，但没有“ <”。这是与问题中第二个示例的重要区别！现在采用典型路径，即几乎所有输入都采用的路径（我们始终遵循“ ”分支）。此外，采用变量中所有元素的典型路径。令为这两个路径首次采用不同分支的节点。让 $\mathbb{C}$ $f$ $\mathbb{C}$ $\not=$ $V(f)$ $v$ 是沿着两条路径的公共前缀测试的多项式。由于是封闭的，因此所有位于并达到元素也位于。因此，如果，则在消失。我们将希尔伯特的Nullstellensatz应用于，得到 $h_1,\dots,h_m$ $V(f)$ $V(f)$ $v$ $V(h_m)$ $f(x) = 0$ $h_i$ $x$ $h_1 \cdots h_m$ 一些多项式那的互质。简而言之，尽管我们不计算，决定是否当，我们有计算对一些互质。 $f g = h_1 \cdots h_m$ $g$ $f$ $f$ $f(x) = 0$ $fg$ $g$

— 马库斯·布拉泽（MarkusBläser）
source

因此，测试

的复杂性实质上是通过评估

的复杂性来体现的。则由于

是不可约，所述评估的复杂性

被多项式由评估的复杂性为界

，程度

，和的变量的数目。因此，如果

具有多项式度，并且测试

很容易，则测试和评估是等效的。（然而，如果任一

f (x) = 0

$f(x)=0$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

f g

$fg$

f g

$fg$

f

$f$

f (x) = 0

$f(x)=0$

d e g f

$deg f$ 是很大的还是测试很困难-说

的程度很大-那么这说的很少。）

g

$g$

— Joshua Grochow

我不明白：如果您可以评估

，那么您可以通过再执行一次运算来测试零，即最后进行一次相等性测试。可能出问题的是，出于某种原因，评估

比评估

便宜。（注意：评估

意味着在一个通用的点上进行评估，即在不确定的时候进行评估。）

f

$f$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— MarkusBläser2013年

精确地评估

可能比评估

容易。（我知道对

进行评估意味着要在一个通用的点进行评估；我并不真正理解您为什么认为最后一个括号内的注释是必要的，但这可能不重要。）您实际上没有得到什么呢？根据您的最后一条评论，我想我们都了解情况并同意彼此的理解...另请参见Burgisser的“多元多项式因子的复杂性”，其结论与我之前的评论相同。

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— 约书亚·格罗肖

讨论中得出的另一个有趣的结论是：尽管测试非负矩阵的永久性是否为零是容易的，但仅当评估永久性简单时，才可以测试任意复数矩阵的永久性是否为零。

— 约书亚·格罗肖

抱歉，我误解了您的第一条评论。一切顺利。

— MarkusBläser2013年

5

马可夫斯基的“费弗曼-沃德定理的算法使用”可能是相关的。他通过对图上的MSOL可定义的结构求和来定义多项式，并表明当图受树宽限制时，它们易于处理。

除了FPT之外，这并没有说明测试/评估复杂性的差异。测试值意味着询问是否存在变量设置，以使给定图形上的给定MSO2公式求值为true，而求值涉及枚举满足MSO2公式的赋值。这似乎与计数SAT的复杂度与SAT的复杂度如何相关的问题有关。

编辑10/29 另一个有用的概念可能是查看均匀困难点属性。显然，具有此属性的多项式很容易在所有点上求值，或者很难在几乎每个点上求值。马可夫斯基在幻灯片46-52中提供了一些参考资料-http: //www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

— 雅罗斯拉夫·布拉托夫（Yaroslav Bulatov）
source

3

$q(x)$ $\mathbb F_p$ $p$

$\mathbb F_2[x]$ $x^2=x$ $\mathbb F_2$ $0,1,x,x+1$ $0$ $1$

$\mathbb F_q$ $q=p^n$ $p$ $n$

— 卡特·塔齐奥·申瓦尔德
source

1

{p e r m_{n} : n \geq 0}

$\{perm_{n} : n \geq 0\}$

p e r m_{n}

$perm_{n}$

n \times n

$n \times n$

— 约书亚·格罗夫

1

F_{2}

$\mathbb F_2$

x^{2} = x

$x^2=x$

1

卡特：我以为我很清楚我在问渐近性，但是现在我已经澄清了。您也可以使用var数量不固定的multivar polys。不好意思，但是我不认为您应该指出可以用O（1）ops评估有限的1-var多边形集的赏金（+25）。我知道您实际上是在指出一些不太明显的东西，但这与问题无关：正如Q注释中已经指出的那样，poly不是输入的一部分。因此，在F_2上，实际上仅考虑了4个1-var多边形（无需使用x ^ 2 = x）。

— 约书亚·格罗夫

p e r m_{n}

$perm_n$

1

d e t_{n}

$det_{n}$

d e t_{n}

$det_{n}$

F_{p_{n}}

$\mathbb{F}_{p_{n}}$

p_{n}

$p_{n}$

3

我不确定我是否正确理解了这个问题，但让我尝试阐明一下。

通常，在某些值上评估多项式比进行身份测试更容易，尤其是当多项式的表示是通过电路（某些简洁表示）时。但是，有很多随机身份测试算法（Schwarz-Zippel是最简单的算法）可用于评估。

$n^{O(1)}$

$x_i \mapsto y^{2^i}$ $\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$ $y^r - 1$ $r$ $r$ $y^a$ $y^b$ $y^r - 1$ $r$ $a - b$ $r$ $\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$ $r$

黑匣子身份测试算法已经有了更多的进步。现在，大多数人都处于受限的深度3回路（变量总和的乘积之和）。（FWIW）我的硕士学位论文的第3章和第4章将更详细地介绍其中的一些内容。最近，Saxena和Seshadri也进行了进一步的改进。

— 兰普拉萨德
source

x

$x$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x

$x$

f (x)

$f(x)$

啊! 我明白了。谢谢您的澄清。在这种情况下，我的回答不太相关。

— 拉姆帕萨德（Ramprasad），2010年

1

$1-xy$ $x$ $y$ $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ $n$

— 科林·麦奎伦
source

N P

$NP$

N P / p o l y

$NP/poly$

# P

$\# P$

N P

$NP$

# P

$\# P$

# P

$\# P$

f

$f$

f

$f$

有一个推测，NP完全问题的自然计数版本始终是#P完全，但是我不知道其他任何关系。一种微不足道的条件是该问题是可自约的，并且f由多项式限制。

— 科林·麦奎伦