一元参数与二元参数

在看到Bernardy和Moulin在2012年发表的LICS论文（https://dl.acm.org/citation.cfm?id=2359499）之后，我最近对参数变得非常感兴趣。在本文中，他们将一元参数化内部化为具有依赖类型的纯类型系统，并暗示如何将构造扩展到任意Arities。

我只看过之前定义的二进制参数。我的问题是：一个有趣的定理的例子是什么，可以用二元参数性证明而不是一元参数性？看到一个可证明具有三级参数性但不具有二元性的定理的例子也很有趣（尽管我已经看到n参数= n等于n> = 2的证据，请参见http：//www.sato.kuis .kyoto-u.ac.jp /〜takeuti / art / par-tlca.ps.gz）

通常，您使用二进制参数来证明程序的等效性。用一元模型执行此操作是不自然的，因为它一次只谈论一个程序。

通常，如果您只对一元属性感兴趣，则使用一元模型。例如，请参阅我们最近的草稿《表面下的结构类型》，其中我们使用一元模型证明了类型健全性的结果。由于健全性讨论的是一个程序的行为（如果 则它偏离或减小到值v ：A），因此一元模型就足够了。如果我们还要证明程序的等效性，则需要一个二进制模型。$e : A$$v : A$

编辑：我只是意识到，如果您看一下我们的论文，它就像一个普通的旧逻辑关系/可实现性模型。我应该说些什么使它（和其他模型）成为参数。基本上，当可以证明模型的身份扩展引理时，模型就是参数化的：也就是说，对于任何类型表达式，如果所有自由类型变量都绑定到身份关系，则类型表达式就是身份关系。我们没有明确证明它是引理（我不知道为什么，但是在进行操作模型时很少需要这样做），但是此属性对于我们的语言的健全性至关重要。

参数化中的“关系”和“身份关系”的定义实际上有点困难，如果您想支持高级类型（如高级类型或从属类型）或希望使用更高级的语义结构，则这种自由实际上是必不可少的。我知道的最容易理解的解释是鲍勃·阿特基（Bob Atkey）的论文“高等类型的关系参数”。

如果您对分类理论有很好的胃口，那么这首先由Rosolini在他的论文《反射图和参数多态性》中以抽象的方式提出。此后，Dunphy和Reddy在他们的Parametric Limits中以及Birkedal，Møgelberg和Petersen在参数多态性的领域理论模型中进一步开发了它。

这应该是对Neel的回答的评论，但是有点长。在拉斯穆斯·彼得森（Rasmus Petersen）的提示下，我在穆格尔伯格（Møgelberg）的论文中发现了以下内容（强调我的观点）：

Ivar Rummelhoff [36]研究了不同PCA上每个模型中自然数的编码，并表明在某些模型中，编码包含的不只是自然数。因此，这些模型不能是参数化的。即使他没有提及，这也表明一元参数与二进制（关系）参数不同，因为可以很容易地表明任何每个模型中自然数的编码都是一元参数。

引用的论文是PER模型中的Polynat。

让我在回答这个问题时更抽象一些。在每个偶数，您都有以下情况：通过定义R '（→ x，y ），可以将n元关系R嵌入到（n + 1 ）元关系中。$n$$n$$R$$(n+1)$$R'(\vec{x},y) \iff R(\vec{x}) \land y = x_i$$i \in [1..n]$$n$$n+1$$n+1$$n$。由于更多的关系意味着更强的参数化，而更少的函数族将被视为“参数化”，因此我们了解到，“真实参数化”是我们在极限中获得的，而每个最终参数化都是近似值。

这些不定式关系已被形式化为“各种差异的克里普克逻辑关系”，也称为荣格-蒂林关系。 Jung和Tiuryn证明了这种无限参数足以表征lambda可定义性，而O'Hearn和Riecke证明了足以表征用于编程语言（包括顺序PCF）的完全抽象模型。这是基本而美丽的结果！

因此，一元参数是真实参数的最简单，表达最少的近似，而二进制参数则要好一些。您的问题是“好多少了”？我的印象是，这是一个很大更好。原因是，在一元层次上，“身份关系”是“万有千真万确”的关系，并不是很重要。在二进制级别，“身份关系”是相等的。因此，从一元级转换为二进制级时，参数的能力突然增加。之后，它变得越来越精致。

库尔特·西伯（Kurt Sieber）对这些问题进行了深入的研究：关于顺序性和类似Algol的语言。

对于二元参数化的应用，最容易阅读的论文可能是Wadler 定理免费！。

实际上，我对该问题感到有些惊讶，因为二进制参数化是参数化论文中最常提及的内容。甚至连雷诺兹（Reynolds）的原始论文“类型，抽象和参数多态性”到处都提到了。一元参数化并没有广为人知。