不完善的子图同构

考虑以下问题：给定一个查询图 $G = (V, E)$ 和参考图，我们要找到内射映射，它使边使得。这是子图同构问题的一般化，其中我们允许子图同构直到几个缺失边，并希望找到最小化缺失边数的方法。 $G' = (V', E')$ $f : V \rightarrow V'$ $(v_1, v_2) \in E$ $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$

$(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$

我的问题是：是否已经研究过此问题？它有一个知名的名字吗？是否有任何有效的近似算法？

该问题的动机（除了似乎是子图同构问题的自然概括这一事实之外）是为聚会制定餐桌计划的一种好方法：查询图是具有边缘权重的客人图代表两个人想要互动的程度，参考图以桌子座位为顶点，边缘权重表示可以进行何种程度的交流，问题的解决方案是从人到桌子座位的映射，尊重社会结构。尽可能最大的程度。

— 3纳米
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为什么在标题中需要“诱导”？

— 大田洋太（Yota Otachi）

@Yota Otachi：因为我搞砸了。谢谢！

— a3nm 2012年

您的问题是最大公共边子图问题（Max CES）的定义如下：给定两个图和，找到图，其边的最大数量与的子图和的子图同构。 $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

证明：你找到一个子的同构的子图，其中被最小化。由于是的不变量，当且仅当被最小化被最大化。显然，是同构的一个子图并的子图 $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ 。QED $G'$

近似性。在卡恩（Kann）的博士学位论文中，我发现“不知道在常数内是可近似的”这一描述[3]（第115页）。在Bahiense等人的最新论文中。[1]，提到如果和不需要相等，问题就变成APX难题。但是，对此结果的引用是未公开的私人通讯[2]。 $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

L. Bahiense，G。Manic，B.Piva，CC de Souza。最大共同边子图问题：多面体调查。离散应用数学出现。doi：10.1016 / j.dam.2012.01.026
MM Halldorsson，个人通讯，未出版的手稿，1994年。
V.坎恩关于NP完全优化问题的逼近性。博士论文，NADA报告TRITA-NA-9206，1992年。http：//www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— 太田洋太
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看来这确实等于我的问题。非常感谢！您知道加权版Max CES的结果吗？

— a3nm

我不知道加权版本。我认为

应该是

吧？

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— Yota Otachi 2012年

是的，如果我们要归纳未加权的情况，则总和更为自然，尽管我认为将平方和或任何权重差函数最小化是有意义的。

— a3nm 2012年

感谢您的编辑。我同意，使用体重差之和（或其上的任何函数）作为惩罚是很自然的。

— Yota Otachi 2012年