这个覆盖问题的复杂性是什么？

编辑：我首先将约束（2）的格式错误，现在可以更正。我还添加了更多信息和示例。

与一些同事一起研究其他算法问题，我们可以将问题简化为以下有趣的问题，但是我们无法解决其复杂性问题。问题如下。

实例：整数 $n$ ，整数以及集合的对的集合。 $k<n$ $S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$ $n$ $\{1,\ldots,n\}$

问题：是否有一个组尺寸的使得对于每个元件的：（1）如果，间隔是包括在一些间隔通过在一对限定和~~（2）中的至少一个~~，~~属于某些对~~？（2）属于一对。 $S'\subseteq S$ $k$ $i$ $\{1,\ldots,n\}$
$i<n$ $[i,i+1]$ $[s_i,t_i]$ $S'$
~~$i$ $i+1$ $S'$~~
$i$ $S'$

示例
设置是一个可行的解决方案（假设为偶数）：对确保条件（1），而所有其他对确保条件（2）。 $\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$ $n$ $\{1,n\}$

备注
（I）由于每对都恰好包含两个元素，为了满足条件（2），我们至少需要对。顺便说一句，由于我们假设，因此这意味着通过返回整个实现平凡的2逼近。 $\frac{n}{2}$ $S$ $|S|\leq n$

（II）的看问题的另一种方法是考虑用梯子步骤（如一个下面），具有一组一起的梯子的周期。阶梯的每个步骤对应于某个元素，并且每个侧边都是间隔。包含步骤循环正好对应于：它涵盖了和之间所有连续间隔，并且在和处都停止。接下来的问题是是否存在一组的 $n$ $S$ $n$ $[i,i+1]$ $s,t$ $\{s,t\}$ $s$ $t$ $s$ $t$
$S'\subseteq S$ $k$ 联合覆盖了梯子的所有边缘（包括台阶边缘和侧边缘）的循环。

（III）如果一个仅要求条件（1），该问题将对应于控制集问题在从间隔定义的一些区间图通过对给定的与另外的微小间隔一起每个在。这个问题在线性时间上是经典可解决的（例如参见here）。同样，如果只要求条件（2），则可以简化为边缘覆盖问题（顶点是元素，边缘是对），通过最大匹配方法也可以解决多项式时间问题。 $[s_i,t_i]$ $S$ $[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$ $i$ $\{1,\ldots, n-1\}$

所以我的问题在标题中：

P中有这个问题吗？NP完全吗？

欢迎提及类似问题。

cc.complexity-theory ds.algorithms reference-request

— 弗洛伦特·福考德
source

它可能介于两者之间……谁知道它不能等同于图同构？:)

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

当然，这也是一种选择...但是实际上，我觉得这个“气味”出现在P中-也许是因为我希望它是:)

— Florent Foucaud 2012年

为什么任何可行的解决方案的尺寸必须

？你能不能，请解释为什么集对{

}是不可行的。

\geq \frac{n}{2}

$\geq \frac{n}{2}$

[1, n - 1], [2, n]

$[1, n-1], [2, n]$

— hbm 2012年

@hbm：您提出的解决方案不满足条件（2）（即使有我更新之前的约束）。我现在包括了更多的解释，希望更清楚。

— Florent Foucaud 2012年

那么k = n / 2呢？我们可以解决这种特殊情况的问题吗？

— domotorp 2012年

尽管这不能解决您提出的问题，但是前面的一些评论考虑了近似算法。FWIW，我认为使用动态编程可以实现PTAS（多时间逼近方案）。这是主意。

给定任何实例且，构建如下的解决方案。标记每 “个顶点。对于每个标记顶点，从所有的边缘认为“跨度” （即，满足约束（1）），选择一个边缘最小化和一个~~最小化~~最大化。这些添加边缘到溶液中。 $\epsilon > 0$ $(1/\epsilon)$ $i$ $(j,k)$ $i$ $i$ $j$ $k$ $2 \epsilon n$

这些边满足许多顶点的类型（1）约束。同时，它们为解贡献边，只有。最后，我们将找到一个剩余问题的最佳解决方案，即找到一组满足所有剩余类型（1）和类型（2）约束的边。 $2n\epsilon$ $O(\epsilon \mbox{OPT})$

将顶点的“块”定义为一组连续的顶点，这些顶点的类型（1）约束到目前为止已添加的边都满足。在任意两个连续的块之间，存在一系列不满足类型（1）约束的顶点。（任何这样的序列的长度都最多为，因为标记的顶点具有其类型（1）约束，这些约束已经被添加的边满足。）将任何这样的序列称为两个相邻块的“邻居”（因此每个块都有一个左侧的邻居和右侧的邻居）。 $1/\epsilon$

在每个邻域内，对于邻域中的每个顶点，离开顶点的每个边之间的距离最大为（因为该边没有跨越任何标记的顶点）。因此，该顶点具有至多度。因此，每个邻域具有至多的顶点和触摸至多的边缘。将这些边的任何子集称为邻域的“配置”。如果配置满足附近顶点的所有类型（1）和类型（2）约束，请将该配置称为“有效”。 $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon^2$

对于每个块，对于每对块的两个邻域，计算的有效配置（在多项式时间，使用最大匹配等），最小尺寸任何一组边缘（如果存在的话），使得在边缘满足式（2），用于在所述块中的顶点的约束。由于最多 $i$ $(C_i, C_{i+1})$ $F_i(C_i,C_{i+1})$ $S$ $C_i\cup S \cup C_{i+1}$ 配置，这可以在多项式时间内完成（对于固定eps）。 $2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

现在，您可以通过找到序列来求解原始实例为有效配置，每个邻域一个，使，其中如前一段所述。这可以通过在所有有效配置形成的图中找到一条最短路径来实现，其成本为 $D_1, D_2, .., D_k$ $\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$ $F_i$ 从每个配置对附近到每个配置为邻。（此图的大小为，对于固定为。） $|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$ $D_i$ $i$ $D_{i+1}$ $i+1$ $O(2^{1/\epsilon^2} n)$ $O(n)$ $\epsilon$

— 尼尔·杨（Neal Young）
source

真好欢迎使用cstheory！

— Suresh Venkat 2012年

1 + ϵ

$1+\epsilon$

k = 4 / ϵ

$k=4/\epsilon$

O P T \geq n / 2

$OPT\geq n/2$

2 n / k \leq ϵ O P T

$2n/k\leq\epsilon OPT$

— Florent Foucaud 2012年