戈德尔声明的递归形式是否可能？

P / NP问题的自指有时有时会成为解决问题的障碍，例如，参见Scott Aaronson的论文，P vs. NP在形式上是否独立？关于P / NP的许多可能的解决方案之一就是证明该问题在形式上与ZFC无关，或者是真实的但无法证明的。

可以想象，问题的自我指称性在独立性证明中可能会带来更深层次的挑战，例如，如果关于其可证明性的陈述本身无法证明或无法推理。

假设我们将定理T Godel_0称为真定理，但在Godel定理的意义上无法证明。如果语句“ T is Godel_0”是正确的，但无法证明，则调用T Godel_1。如果语句“ T是Godel _ {（i-1）}为真，则调用T Godel_i。

我们知道存在Godel_0语句，并且发现了一些示例，这些示例在“野外”中并未明确地为此目的构建，如本文所述。

我的问题是：是否存在Godel_1或更高版本的语句？这样的陈述是戈德尔定理的自然结果吗？

关于这样的陈述，我们绝对不能证明什么呢？即，对于每k > 0，T为Godel_k的陈述呢？

我可以问一个关于形式独立性的类似问题，尽管我怀疑那里的答案是“否”。

回到P vs. NP问题，让我问一下，是否甚至暗示Godel定理与类可分离性问题有关。是否有关于复杂性类别的任何真实但无法证明的陈述-当然，除了停顿问题和Godel定理之间的明显联系之外？

正如其他人指出的那样，陈述您的问题存在某些技术困难。为了弄清楚它们，让我们从避免不加限定地使用术语“不可证明”开始，并明确说明语句T应该从哪些公理中被证明。例如，假设我们对一阶Peano算术公理PA无法证明的语句T感兴趣。

第一个烦恼是，根据塔斯基定理，“ T为真”在一阶算术语言中无法表达。我们可以通过使用足够强大的元理论来解决此问题，该元理论足以定义算术语句的真相，但我认为出于您的目的，这是一条不必要的复杂方法。我认为您对真理本身不是那么感兴趣，而是对可证明性感兴趣。也就是说，我怀疑如果将T定义为True但在PA中无法证明，则将T定义为Godel_0是满意的；如果在PA中无法证明T但在PA中无法证明“ T在PA中无法证明”，则将T定义为Godel_1是满意的，并将T定义为Godel_2（如果在PA中无法证明T，并且在PA中无法证明“ T在PA中无法证明”，但是在PA中无法证明“'T在PA中无法证明”在PA中无法证明，等等）。

这足以使您的问题更加精确，但是不幸的是，然后有了一个相当简单的解决方案。取T =“ PA是一致的”。那么T是正确的，因为PA是一致的，而T在Goedel的第二不完全性定理中是不可证明的。此外，由于有些愚蠢的原因，“ T在PA中不可证明”也无法在PA中证明：任何形式“ X在PA中不可证明”的陈述在PA中都无法证明，因为“ X在PA中不可证明”琐碎地暗示了“ PA一致”（因为不一致的系统证明了一切）。因此，对于所有n，T都是Godel_n，但我不是真的可以解决您的预期问题。

我们可以尝试为您的问题“打补丁”以避免此类琐碎的事，但让我尝试解决我认为是您要解决的问题。默许地，我相信您正在将证明一个定理与心理困难所需要的逻辑强度混为一谈证明这一点。也就是说，您将形式“ T在X中无法证明”的结果解释为说T在某种程度上超出了我们的理解能力。那里有这些可怕的猜想，我们微弱的人类破解PA鞭子或ZFC鞭子，或者您对那些凶猛的野兽有什么想法，试图驯服它们。但是我不认为“ T在X中不可证明”不应该解释为“ T不可能推理”。相反，它只是测量有关T的特定技术属性，即其逻辑强度。因此，如果您想提出über-monster，我不认为找到不仅无法证明而且无法证明无法证明的东西是正确的方向。

最后，关于您的问题，即不可证明性是否似乎与复杂性类的可分离性有关，在某些有界算术系统中，计算难解性和不可证明性之间存在某些联系。您在Aaronson的论文中提到了其中的一些内容。另请参阅Cook和Nguyen的著作《证明复杂性的逻辑基础》。

我对Godel_1的定义不太确定。您可以尝试将其正式化吗？

您如何编码公式“ T is Godel_0”？为此，您将需要以某种方式对“ T在语义上是正确的”进行编码，而不涉及证明的概念。你该怎么做？

每个n存在一个Godel_n语句。您可能对George Boolos的著作《一致性的不可证明》感兴趣。他定义了一种模态逻辑，其中Box表示“是可证明的”，Diamond表示“是一致的”，然后着手研究Godel类型句子的行为。（他还写了一本后续书《可证明的逻辑》。）