查找图的对偶

根据Gross和Tucker的《拓扑图论》一书，给定一个图在表面上的细胞嵌入（通过“表面”，我的意思是一个带有手柄的球体，而在以下指的是正好为的球体。可以通过将嵌入原始图的面视为顶点并为两个面之间添加一条边来定义对偶多重图，以使对应图面在原始图中具有相同的每一侧。$n\geq 0$$S_n$$n$

这是我的问题。给定一个图，我需要找到另一个图这样就存在一个表面并且在上存在的蜂窝嵌入，使得是嵌入的对偶。我知道有很多可能的图形；我只需要为每个图找到一个。$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

我有几个问题。我的当前策略是（1）确定属的，（2）发现的一个嵌入上，和（3）找到的双重该嵌入的。所有这些步骤都具有已知算法（尽管（1）是NP-Hard）。我想知道是否有找到绕过属类计算的的方法，因为这是该方法的瓶颈，这是我的第一个问题。我的第二个问题是：如果我知道是规则的，那可以简化类的计算吗？我的第三个问题是要求提供任何可以帮助我解决此问题的参考资料。$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

您的双生子必须是最小属吗？因为找到任何图的元胞嵌入都很简单：只需为入射到每个顶点的边任意选择一个圆形排序，然后将嵌入的面确定为与所选排序一致的边序列。

我喜欢Bennington和Little所著《拓扑图论的基础》一书中嵌入的GEM（图形编码地图）表示形式。在此表示形式中，嵌入是由三边色的3正则图表示的，嵌入的每个标记都有一个顶点（顶点，边和面的入射三元组），而每两个标记的不同之处在于一个边它们所代表的顶点/边/面集的元素之一。例如，下面来自Wikipedia的图像可以解释为规则十二面体的GEM，其中红色循环代表其面，黄色循环代表其边缘，蓝色循环代表其顶点；边缘可以根据其两个入射面的颜色进行着色。

给定图G的边缘的圆形顺序，可以通过为G的每个d个顶点制作一个2d顶点，每个边缘两个顶点，每个入射边缘成对的顶点对的周期来找到其GEM。以选定的圆形顺序循环，然后对于G的每个边e，将e的两个端点的两对GEM边链接成一个矩形。如果要定向嵌入，则如何将这四个顶点链接为矩形的选择应与圆形顺序一致，否则可以是任意的。

然后，G嵌入的顶点，边缘和面由GEM中的周期表示，这些周期在三种边缘颜色中的两种之间交替。G的对偶由GEM表示，该GEM具有相同的基础3正则图，但交换了两个边缘颜色。可以通过收缩其所有顶点周期并将成对的平行边合并为单个边来形成GEM表示的图。因此，构造G的对偶（只要您不关心哪个对偶即可）可以在线性时间内轻松完成。