与GF（2）相比，低阶随机多项式的偏向是什么？

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

*当我编写带有度数$\le d$和n变量的随机多项式时，您可以想到以1/2概率选择的总度数\ le d的每个单项式$\le d$。

我知道的唯一相关的事情是Schwartz-Zippel的一个变体，该变体声明如果多项式是非恒定的，则其偏差最多为$1-2^{1-d}$。因此，对于$\epsilon=1-2^{1-d}$，概率为$1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$，其中$p$为一个常数。不幸的是，这个$\epsilon$很大。

Ben-Eliezer，Hod和Lovett撰写的论文“随机低阶多项式很难近似”回答了您的问题。它们显示的程度的随机多项式的相关性较强的界限与阶多项式最多，通过分析随机多项式的偏差。参见其引理2：随机次数多项式（直到线性的某个）的偏差最多为，但概率为。$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

您的问题等同于Reed-Muller码权重分布的尾限。理解Reed-Muller码的权重分布是编码理论中一个古老且具有挑战性的问题，并且对此有一些有趣的结果（仅对于和才完全理解了权重分布）。作为一个很好的起点，请参阅Tali Kaufman，Shachar Lovett，Ely Porat撰写的“ Reed-Muller码的重量分布和列表解码大小”，以及其中的参考文献。$d=1$$d=2$