恒定深度公式的下限？

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我们对（多项式大小）恒定深度电路的局限性了解很多。由于（多项式大小）恒定深度公式是一个更加受限制的计算模型，因此，所有已知不在AC ⁰中的问题也无法通过恒定深度公式进行计算。但是，由于它是一个更简单的模型，所以我猜想有更多已知的问题无法在此模型中计算。已经研究过了吗？（我猜是这样，但是我可能没有使用正确的搜索词。）

我特别对以下问题感兴趣：是否有一些函数f可以由大小为S 的AC ⁰电路计算，但是需要一个恒定深度公式，其大小至少应为S的平方或S的超多项式？这种结果最著名的是什么？

如果不清楚我所说的“恒定深度公式”是什么，我指的是一个公式，如果您将其写为一棵树（内部节点为AND / OR / NOT门，而叶子为输入），则该树具有常数高度。等效地，恒定深度公式是恒定深度电路，其中所有非输入门都具有扇出1。

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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通过多次使用多个门的副本，很容易将恒定深度的电路转换为具有相同深度的恒定深度的恒定深度公式。如果电路的深度为且大小为，则公式将具有深度和大小。因此，答案是否定的。 $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— 卡韦
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这使大小增加了两倍以上。（不过，当然不是超多项式的增加。）

— Iddo Tzameret 2010年

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感谢您的回答。关于具有深度为S的恒定深度电路但需要公式为S ^ 2或S ^ 10等的特定函数f的任何想法吗？

— 罗宾·科塔里

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我认为深度与电路尺寸之间的关系仍然是开放的（众所周知，“深度”是公式尺寸的teta）。有关某些具有显式公式大小下限的函数，请参见Wegener的书“布尔函数的复杂性”中的第7章和第8章。有一个几乎平方增加（

），没有发现更好的东西。

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— 卡韦赫

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本杰明·罗斯曼（Benjamin Rossman）的最新结果（http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/）已完全解决了这个问题（包括恒定因素）。

正如卡夫（Kaveh）上文指出的那样，深度尺寸电路可以转换为深度尺寸公式。 $d$ $S$ $d$ $S^d$

罗斯曼（Rossman）表明，这实际上很严格。对于任何深度，他都表现出可以由深度为且尺寸为的恒定深度电路计算的函数，但可以采用任何恒定深度公式（甚至 $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -depth式）需要大小计算它。 $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

（之前忘记说这个：感谢本杰明·罗斯曼（Benjamin Rossman）让我知道这个结果。）

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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