关于偏序线性扩展的一个问题

如果为您提供了部分订单的集合，则拓扑排序将告诉您集合是否存在扩展到总订单的情况（在这种情况下，扩展名是与每个部分订单一致的总订单）。

我遇到了一个变化：

修正了一个集。你给出的序列从绘制的元素的没有重复（序列是长度在1个之间）。 $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

是否有一种方法可以固定每个序列的方向（正向或反向），以使所得到的链集合（视为部分顺序）允许扩展？

这个问题众所周知吗？

注意：方向是为整个序列选择的。因此，如果顺序是，你可以保持这种状态，或将其翻转到，但你不能做任何事情。 $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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如果每个序列的长度为

则可以将每个序列视为无向边，并且我们要问的是，如果没有循环，则无向图是否可以定向为DAG。但是贪婪算法也可以。从边缘开始，任意调整方向，并尽可能地继续前进，如果卡住，就会知道这是不可能的。您是否尝试过这种变化？似乎可以正常工作。

2

$2$

— Chandra Chekuri 2012年

嗯，每个无向图都可以定向为DAG。只需选择顶点的顺序并使用该顺序来定向边缘即可。

— David Eppstein 2012年

你当然是对的，我不是在想。

— Chandra Chekuri 2012年

在我的变体中，每个子序列的长度都正好为4，因此Yury的答案就开始了。我现在唯一的希望是，这些子序列具有非常特殊的结构并且彼此相关，所以也许特定于问题的东西会有所帮助。但是没有一般的锤子。

— Suresh Venkat 2012年

如果每个序列的长度为3，则该问题称为“ 中间性”。甚至中间性问题也是NP难题。在这个问题中，我们得到了一组顶点和一组约束，其形式为位于和之间。我们的目标是对所有顶点进行排序，以便最大程度地满足约束条件。Opantry [1]证明了该问题的决策版本是NP-hard的。Chor和Sudan [2]证明它是SNP坚硬的。 $u$ $v$ $w$

如果实例完全可以满足，Chor和Sudan所提出的最著名的近似算法可以满足所有约束的1/2。

[1] J. Opantry。总体订购问题，SIAM计算杂志，8（1）：111-114，1979年2月。

[2] B. Chor和M. Sudan。介乎几何的几何方法，SIAM离散数学杂志，11（4）：511-523，1998年11月。

编辑：阐明了问题的决定版本是NP-难的。

— 尤里
source

尤里（Yury），这是否意味着很难满足所有约束的决策问题？

— Chandra Chekuri 2012年

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$