是否可以使用随机限制来获得

基于随机限制和开关引理，有几种众所周知的电路尺寸下限结果。 $\mathsf{AC^0}$

我们可以开发一个开关引数结果来证明电路的下界大小（类似于的下界证明）吗？ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

还是使用这种方法来证明的下界是否存在固有的障碍？ $\mathsf{TC^0}$

像自然证明这样的障碍结果是否说明了使用类似开关引理的技术来证明的下限？ $\mathsf{TC^0}$

— eigh
source

您是否熟悉的切换引理的证明？

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— 卡夫

我阅读了Arora教科书的电路下限一章。首先，将任何恒定深度的电路转换成没有带“与”或“或”层的NOT门的电路，其次，使用Switching Lemma切换这两层，最后得到电路顶部，第二层是相同的AND（或OR）门这样我们就可以剥夺电路的一层，从而减少电路深度。

— Jeigh

但是，当我们固定输入的几个值时，观察布尔门的输出并不比布尔情况简单（在布尔情况下，我们确定大约平方根n输入）。“与”门和“或”门是阈值门的极端版本，很容易观察到限制的影响。

— 2012年

随机限制技术背后的思想是，被随机限制命中的变得更简单（实际上是常数），且概率为非零，同时保留了足够的自由变量。与和门不同，受到随机限制的单个门仍然会在较小尺寸的输入上计算门，并且不会变得更简单。

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

\mod p

$\mod p$

\mod p

$\mod p$

— 卡夫

还要注意，随机限制和转换引理是自然证明的主要示例之一。无论如何，希望电路复杂性专家会发布更全面的答案。ps：我可以自由地重写问题，如果您不喜欢我的编辑，可以随时回滚。

— 卡夫

Answers:

实际上有可能利用随机限制来证明阈值电路的下限。

特别是在《阈值电路的尺寸-深度权衡》一文中，Impagliazzo，Paturi和Saks使用随机限制来证明用于计算奇偶校验功能的恒定深度阈值电路的上线下限（线数）。

关于证明电路的超多项式下界，那么是的，自然证明概念是相关的，因为存在伪随机函数生成器的构造。 $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

另请参阅Daniel Kane和Ryan Williams的最新论文，《深度2阈值电路和深度3阈值电路的超线性门和超二次导线下界》（STOC 2016）。

Ryan对论文的描述如下（以下描述摘自他的主页）：

我们在给出了一个显式函数，对于该函数，大多数深度二线性阈值电路（具有无穷大权重）同时需要大约门和条导线。我们还表明，Andreev函数（可由大小的深度三多数电路计算）要求使用深度二线性阈值电路来计算大约相同的栅极和导线下限。关键工具是Littlewood-Offord Lemma，我们使用它来分析随机限制对低深度阈值电路输入的影响。 $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Yuval Filmus
source