树上的NP难题

当输入图是一棵树时，可以在多项式时间内（甚至在线性时间内甚至是多项式）轻松解决一般图上对NP困难的几个优化问题。示例包括最小顶点覆盖，最大独立集，子图同构。列举一些自然优化问题，这些问题在树上仍然很难解决。

您可以从我们的标准参考书中找到很难解决的图形问题的“自然”和“知名”示例。例子：

• 积分ķ -multicommodity流，
• 通用嵌入式子树，
• 公用子树。

（这些公式表示为树问题，但是您可以将其概括为任意图。然后，当您将输入限制为树时，可以作为特殊情况获得上述公式。）

用于生成难以在树上的问题更普遍的配方：取相关的任何NP问题超层，超弦，子等，然后重新诠释一个字符串作为标记的路径图。然后提出一般图的类似问题（子序列≈图次要，子串≈子图）。而且我们知道，即使在树上（和路径上），问题也很难解决。

通过减少子集和问题，还存在许多对加权恒星来说很难的问题。一个自然的例子是：

• 具有两个旅行者的TSP：给定一个边缘加权图和一个极限，我们能否在找到两个闭合步道和，使得每个步道的总权重最大为，并且每个节点至少覆盖一个步行？W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

同样，很容易想到主题的变体。

确定树是否可以嵌入到二维整数网格中是完全NP的，树的顶点位于不同的网格点上，树的边缘位于网格边缘上。

参见例如Gregori，IPL 1989。

组斯坦纳问题是一个很好的例子。该问题的输入是无向边缘加权图和k组顶点。目标是找到一个最小权重树，其中每个组至少包含一个顶点。很容易看出，即使G是星，Set Cover问题也是特例。因此，除非P = NP，否则问题很难近似到因子之内。此外，由Halperin和Krauthgamer证明，对于任何固定的除非NP具有随机的拟多项式时间算法，否则该问题很难近似在因子内。请参阅本文以获取准确的说明）。有一个S 1，S 2，… ，S k O （log n ）O （log 2 − ϵ n ）ϵ > 0 O （log 2 n $G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$ Garg，Konjevod和Ravi在树上近似。

树上最困难的问题之一是最小带宽问题。这是的-hard上最大程度3的树木另外它是在发长度为1的圆形毛虫NP难题。$NP$

参考文献：

Michael R. Garey，Ronald L. Graham，David S.Johnson和Donald E. Knuth。复杂性导致带宽最小化。SIAM J.应用 Math。，34（3）：477-495，1978。

Burkhard Monien。毛发长度为3的毛毛虫的带宽最小化问题是NP完全的。SIAM J.代数离散方法，7（4）：505-512，1986。

W.昂格。带宽问题的近似复杂度。在FOCS中，第82-91页，1998年

未加权的边缘多工具问题如下：给定的无向图，对顶点的集合，和一个正整数，发现如果有一个子集至多在边缘其脱除断开每对集合中的顶点。ģ ķ 小号ķ $G$$G$$k$$S$$k$$G$

这个问题是恒星上的NP难（和MAX SNP难）[ 1 ]。

[ 1 ] Garg，Vazirani和Yannakakis，树中积分流和多重割的原始对偶逼近算法，Algorithmica，18（1），第3-20页，1997年。

消防员问题最近受到了相当多的关注，并且（令人惊讶的是）NP在最高等级为3的树上很困难。这实际上是一个相当自然的问题，描述如下：

火在树的根部（或更通常地，在图形中的指定顶点）处爆发。消防员在每一步都保护一个不燃烧的顶点，此后，火势蔓延到每个不受保护的邻居。当火旁边没有不受保护的顶点时，该过程结束。消防员是否有一种策略，最多可燃烧个顶点？$k$

还是一个变种，也是NP-hard的：消防员有没有不燃烧叶子的策略？

人们可能会想到的问题不是在树上困难，而是计算几何中的冻结标签问题：简要地说，是从单个“唤醒”机器人开始调度机器人唤醒的问题，其中makepan是成本度量。

已知在加权星图上是NP难的。然而，问题是否在飞机上是NP难题尚待商open。有人可能会说NP硬度不是来自“树形”，而是来自“任意度量”-形，但是星形图只能给您有限的度量空间。

给定一棵树，将在级别的分区 （即边缘连接相邻级别和顶点），以及一个整数。您是否可以在关卡内置换顶点，以使交叉数最多为？V （T ）k ϕ ：V （T ）→ { 1 ，… ，k } T i i + 1 K $T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

这个问题是NP完全的，由Martin Harrigan和Patrick Healy证明， 级交叉最小化是NP的硬树，WALCOM 2011，LNCS 6552，第70-76页。$k$

帝国着色对树木来说是NP难处理的。

令和为固定的正整数，令为图的图，其顶点集被划分为每个块（或帝国），每个块包含正好个顶点。的 -colouring问题 -要求输入图的顶点的着色使用至多的颜色，从来相同的颜色分配给相邻的顶点在不同帝国，并且相反地，不考虑邻接关系，将相同颜色分​​配给同一帝国中的所有顶点。s g r （s ，r ）s COL r G $r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

McGrae和鸡头，帝国使绘图硬：在帝国着色问题的复杂性， LNCS 6986（2011）179-190，显示，树木， -是NP-很难 （对于其他正值，可在多项式时间内求解。）COL ř小号∈ { 3 ，... ，2 - [R - 1 } $s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

如果网络中的流在每个节点上最多使用一个流出弧，则该流将汇合。确定树中最大汇合流（直径为4，允许多个汇槽）的NP硬度在以下方面得到了证明： D. Dressler和M. Strehler，《电容汇合流：复杂性和算法》，LNCS 6078（2010）347-358。

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

仅当所有输入树都具有无界度时，问题才是NP困难的（实际上，很难近似）。

简单图形的和谐着色是适当的顶点着色，以使每对颜色最多同时出现在一个边缘上。图的和谐色数是图的和谐着色中最少的颜色数。爱德华兹（Edwards）和麦克迪亚米德（McDiarmid）在树木上发现了找到和谐色数的问题是NP完全的。实际上，他们还表明，对于半径3的树木，问题仍然是NP完全的。

$u$$u$

请注意，在相关的（且更为著名的）TSP问题中，目标是最小化最大延迟，而不是平均延迟。我认为一般认为TRP是一个更复杂的问题（实际上，TSP在树度量中以P表示）。

树木的NP硬度在ISCO 2002年的RA Sitters的“最小延迟问题是加权树木的NP硬”中显示。

Graph Motif是最大三度树上的NP-Complete问题：

研究员，Fertin，Hermelin和Vialette，夏普可操作性边界线，用于在顶点彩色图中查找相连的母题 计算机科学讲义，2007年，第4596/2007卷，340-351

作为项目的一部分，我遇到了一个（非常普通的）问题：即使在具有两个顶点和单个边的图上，该问题的变体仍然是NP-hard，而另一个变体是在树上是NP-hard。由于第一个变体的NP硬度显然不是源于图形的形状，因此第二个变体可能更有趣。

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

如果你不要求所有下载到路由，而是尽量让该下载的的filesizes的总和是路由，你可以很容易地减少子求和了这个问题：你有大量的空间，一个单一的服务器以容量等于子集和​​实例的目标值的边缘连接到服务器的单个客户端，并且为子集和实例中的每个整数创建一个大小相等的文件；然后，客户端希望下载所有这些文件。

这个问题的一个（很多？）更有趣的变体是，您尝试最小化超出其容量的边的数量-也许我们正在研究的网络对跨大西洋互联网电缆进行建模，而更换电缆的成本如此之高，以至于差异升级到两倍的成本和升级到三倍的成本可以忽略不计。我们还说服务器上文件的位置已经给出，不能修改，因此我们仅关注路由问题。

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

这个想法是，客户端需要所有服务器群集唯一的文件，因此将客户端连接到服务器群集的边缘已经处于其容量限制（它们的容量为1，文件大小为1）。如果客户端从任何群集下载Universe的任何元素，则连接到该群集的边缘将过载。由于我们只需要减少数量对于超载（而不是超出容量的多少），客户端可以下载该服务器群集上托管的Universe的其余元素（因此是相应子集的其余元素）而不会受到任何损失。因此，这对应于所选择的子集。客户希望一次下载Universe中的所有文件，因此Universe确实将被覆盖，并且要最大程度地减少过载的边的数量，我们需要最小化所选子集的数量。

请注意，上述构造会生成一个树图，因此它是树上的NP难题的一个示例。

不可分裂的流动问题。实际上，UFP即使在单边（背包）上也很难。

$G(V, E)$$NP$

正式地，问题是：

分区图同构

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

NP完整性列引用了Graham和Robinson尚未出版的手稿“同构因式分解IX：偶数树”。

DS Johnson，NP完整性专栏：不断发展的指南，Journal of Algorithms 3（1982），288–300

我以某种方式错过了最后一个答案中的消色差问题，但这是我所知道的最自然的问题之一，在树上是NP完全的。

图形的完整着色是一种适当的着色，因此在每对颜色类别之间都有一条边。可以将着色与和谐着色形成对比，将其表示为适当的着色，以使每对颜色至少出现在一个边缘上。同样，它可以说是集团的完全（或完全）同态。消色差问题是一个最大化问题，我们在图形的完整着色中寻找最大数量的颜色类别。

Yannakakis和Gravil证明了这个问题在二部图的补码上是NP难的。Cairnie和Edwards扩展了该结果，并表明问题在树上是NP完全的。

大量的工作已经逼近算法[领域对这个问题做了3，4，5 ]。

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

树上的Circuit SAT是NPC吗？树的内部顶点被标记为“或/与”门。叶子是输入。确定是否有一组令人满意的输入供电路评估为True。

$2^k - 1$