带有树的子图同构

如果我们有一个大的（有向）图和一个较小的有根树H，那么找到与H同构的G的子图的最著名的复杂度是什么？我知道子树同构的结果，其中G和H都是树，并且G是平面的或具有限制的树宽（和其他树宽），但不适用于该图和树的情况。 $G$$H$$G$$H$$G$$H$$G$

的问题是否有任何固定图形是的（诱导的）子图G ^是一阶可定义特性，即，对于每一个ħ有一个公式φ ħ（ψ ħ），使得ħ是的（诱导的）子图ģ如果且仅当ģ ⊨ φ ħ（ģ ⊨ ψ $H$$G$$H$$\varphi_H$$\psi_H$$H$$G$$G \models \varphi_H$$G\models\psi_H$）。

以前已知模型检查问题在（局部）排除次要图的图类和（局部）有界展开图类中是固定参数可处理的。最近，Grohe，Kreutzer和S.宣布了一个更通用的元定理，指出每个一阶属性都可以在几乎线性的时间内在无处密集的图类中确定。

对于您的问题，这意味着以下内容。令为一棵固定的树。然后，可以在线性时间内确定，如果G是平面的，则H是否是输入（有向图或无向图）G的（诱导）子图，或者G一般是从排除次要类别的一类中或从有界展开的一类中得出的。如果G来自局部排除小数的一类或局部有界扩张的一类，或者最一般而言，G来自无处密集的图类，则可以在几乎线性时间内确定问题。$H$$H$$G$$G$$G$$G$

可以在随机预期时间中求解，其中k是要找到的小有向树的大小，m是要在其中找到大有向图的边的数目。参见Alon，N.，Yuster，R。和Zwick，U。（1995）的定理6.1。颜色编码。J. ACM 42（4）：844–856。阿隆等。还指出他们的算法可以进行随机化处理，但不提供该部分的详细信息；我认为确定性时间可能更长一些，更像O （k $O(2^km)$$k$$m$。$O(k!\,m)$

您可能正在寻找有关Subgraph 同构的参数化复杂性的 Marx，Pilipczuk工作。从技术上讲，它仅涵盖无向图，但我认为您可以调整树木的硬度结果$H$容易扎根树木。先前的答案已经涵盖了与您的问题相关的正面结果。