寻找运算符满足布尔变量NP列表的问题是否完整？

这类似于SAT，除了我们知道每个变量的赋值，但不知道任何布尔运算符的赋值。在那种情况下，是否找到每个运算符的赋值，以便表达式对给定的布尔值求值是一个NPC问题？

实际上，我想知道是否找到算术运算符的分配来满足整数算术表达式（例如 = 10）是否完成了NP？ $1$ $op_1$ $3$ $op_2$ $7$ $op_3$ $op_4$

cc.complexity-theory np-hardness

— 侦探
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因此，如果我理解正确，您就会知道该公式是可满足的，并且您想知道布尔运算符的赋值。只需将

∨ $\vee$ 运算符分配给所有“运算符变量”即可。我不知道第二个问题，但这看起来很有趣。

— 乔治，

@GeorgeB：我认为解决方案不正确。如果所有布尔值都设置为false怎么办？这个问题很有趣，但是可能需要一些工作。我们从哪一组布尔运算符中选择？大概是指一个有趣的二进制布尔运算子集，例如

{ ∨ ，∧ ，⇔ } $\{ \lor, \land, \Leftrightarrow \}$ 。如果包括所有二进制布尔运算符，那么问题就微不足道-只需将常量映射选择为“ true”即可。

— 哈克·贝内特

正如哈克说，拾取

对于所有

。但是，如果将运算符限制为特定集合，则该问题将更加有趣。对于算术情况类似。X Ò p一世ÿ= 1 $x \mathop{op_i} y = 1$

一世 $i$

— 卡夫

看来它可能与QBF有某种联系，或者可能减少了。可能会构造出一个QBF，当求解时，该QBF会给运算符。对？在快速检查中，看起来它可能是Pspace完整的...如果没有括号，还必须定义优先级。AND高于OR？该问题似乎更自然，也许可以定义括号/分组。

— vzn 2012年

@乔治B. 对不起，我没有说清楚。布尔表达式的评估可以是任何给定的布尔值，为0或1

— DSounders

通过加减，我认为对NP困难的分区问题可以归结为第二个问题。

给定集合我们创建问题 $S = \{s_1, s_2, \ldots, s_n\}$

。 $s_1$ $op_1$ $s_2$ $op_2$ $s_3$ $op_3$ $\ldots op_{n-1}$ $s_n = 0$

如果存在解决方案，我们将创建两个集合：

$S_1 = \{s_1\}\cup \{s_i | op_{i-1} = +\}$

$S_2 = \{s_i | op_{i-1} = -\}$

通过我们原始问题的设置，这两个集合必须具有相同的总和，因此可以解决分区问题。这表明不仅很难为该问题提供实际的解决方案，而且实际上NP也很难确定是否存在解决方案（至少对于加法和减法而言）。

对于不允许创建负整数的一组运算（例如乘法和加法），目前尚不清楚。而且，这仅表明该问题对NP的影响很弱。可能会产生比此更强的结果。

— 山姆
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我认为您的证明可以很容易地适应

情况，只需将目标问题设置为

。然后，一个解决方案意味着分母与分子相同（假设所有

）。当然，这不会给出四位运算符的情况，但随后我们还必须处理操作的顺序。× / ÷ $\times/\div$

s1个… 秒ñ= 1 $s_{1}\ldots s_{n} = 1$

s一世> 0 $s_{i} > 0$

一世 $i$

— 路加·马蒂森

谢谢，@ Sam和Luke。如果我们混合使用所有四个运算符怎么办？凭直觉拥有更多的运算符只会使问题变得更加复杂，但是我看不到直接的证明。

— DSounders 2012年

还在考虑所有四个。我们也可以轻松获得

，但是一次仍然只有两个。+ / ÷ $+/\div$

— 路加·马蒂森

另外，对于（强）的参考

产品分区的-completeness：“‘产品分区’和的调度和系统可靠性相关的问题：计算的复杂性和近似” sciencedirect.com/science/article/pii/S0377221710003905ñP $NP$

— 卢克梅赛森

简短的答案。SAT的运算符版本可以有效解决-至少，如果我们假设任意输入的门输入选择电路都没有扇出，则假设两个输入门的任意电路。

长答案。 我假设布尔问题的形式如下：

2棵树-OPSAT。给定一个输入为和栅极组由2输入一输出门，确实存在一个电路在由门其中接受，也就是，这是给定输入时是否满足（按顺序将位映射到电路的叶子）？ $x \in \{0,1\}^n$ $n \geqslant 2$ $\mathcal G$ $C$ $\mathcal G$ $x$ $x$ $x$ $C$

特别是，我们在电路上没有施加任何特定的结构（除了是二叉树之外），不允许扇出（因此每个位仅使用一次），并且门可能是不对称的。通过仅允许两位门，我排除了非门（但是可以通过具有多个通过取反相互关联的门来模拟，例如与 / 与非；并且我也排除那些只输出没有输入常数的常数的门，使门电路中的数量将实际上总是用于位输入为简洁起见，我将提到。2-TREE-OPSAT以下简称为 $C$ $x$ $n-1$ $n$ OPSAT ; 尽管对于允许任意k输入门（k-TREE-OPSAT）或允许扇出（我们可能称为k-FANOUT-OPSAT）的电路，问题的分析可能变得更加困难。

[ 编辑补充：我们可以很容易适应这种考虑你的问题的当前版本中，我们试图映射一个给定的更普遍的问题为目标值，在以下分析中互换和的角色；这具有互换的作用的效果AND和OR，NAND和NOR，等 ] $x \in \{0,1\}^\ast$ $b \in \{0,1\}$ $0$ $1$ $\def\et{\wedge}\def\ou{\vee}\def\AND{\mathop{\text{AND}}}\def\NAND{\mathop{\text{NAND}}}\def\OR{\mathop{\text{OR}}}\def\NOR{\mathop{\text{NOR}}}\def\EQUAL{\mathop{\text{EQUAL}}}\def\PARITY{\mathop{\text{PARITY}}}$

对于的固定选择，选择具有合适门的合适树的问题与逻辑分离无异：使用诸如等价物我们可以在将更复杂的门集与简单（且功能强大）的门集相关的集合之间执行归约。一个人可以说，通过明智地选择某些元素（与特定的输入一起显示），与一个门具有相同的效果，一个门集能够模仿不属于该门集的其他门。。特别是，门的某些组合（例如）可以模拟常数函数，得出 $x \in \{0,1\}^n$

要么 （ x ， y ） \equiv （ 和 （ x ， y ） \lor 平价 （ x ， y ） ）

$\OR(x,y) \;\equiv\;\Bigl(\AND(x,y) \;\ou\; \PARITY(x,y)\Bigr)$

G $\mathcal G$

摹∉ g ^ $G \notin \mathcal G$

{ 或，NAND } $\{ \OR, \NAND \}$

1个 $1$ ：我们说这样的门集是互斥的。

我们通过考虑包括不同类型的门门集，随后从以后的分析案例中排除那些门来表明，涉及任何一个门的门集都会导致一个棘手的问题。我们将从满足恒定门数的两位串的数量顺序开始，从常数门到常数门开始。 $G$ $1$ $0$

对于包含常数门任何门集合，我们可以仅使用该门简单地构建电路，在这种情况下接受任何。 $\mathcal G$ $G(x,y) = 1$ $C$ $C$ $x$
或和与非。对于包含任何门集：如果所有其他门满足，那么选择任何其他门没有任何优势，但在构建电路。只有门的电路可以接受除外的任何字符串。否则，存在一个门使得是互斥的。因此，带有任何OPSAT实例都是容易的；并且类似的注释适用。 $\mathcal G$ $\OR$ $G \in \mathcal G$ $G(x,y) \implies \OR(x,y)$ $\OR$ $C$ $\OR$ $x \in 0^\ast$ $G \in \mathcal G$ $\{G, \OR\}$ $\OR \in \mathcal G$ $\NAND \in \mathcal G$
隐含的门。考虑门，如果，则仅输出零。对于接下来的内容，类似的分析将适用于门。考虑任何字符串。如果端部，分解入形式的子串 ; 在每个这样的，我们从右到左递归应用，这对于每个产生输出。（对于长度为1的子字符串，我们使用琐碎的电路，即不理会该输入。）类似地，如果 $G(x,y) = \neg x \ou y$ $(x,y) = (1,0)$ $G'(x,y) = x \ou \neg y$

$x \in \{0,1\}^n$ $x$ $0$ $x$ $w_j = 1^\ast 0$ $w_j$ $G$ $0$ $w_j$ $x$ 以结尾，将分解为形式的子字符串，然后对每个从左到右递归应用，这将为每个产生输出。因此，我们可以将问题简化为构建满足或，其中是子串或。对于，我们可以通过从左到右递归应用来接受使用门。只是这样 $1$ $x$ $w_j =0^\ast 1$ $G$ $w_j$ $1$ $w_j$ $0^m$ $1^m$ $m$ $1^\ast0$ $0^\ast 1$ $m \geqslant 2$ $G$ $G$ $m = 1$ ，对于有问题的情况，输入。对于，任何仅由门组成的电路将只产生形式为较短的串，最终产生单位串：因此，门不能满足任何电路此输入。如果还存在一个门其，则是异体的；或者，如果存在一个门中的，我们可以简化形式为字符串 $x \in 1^\ast 0$

$x= 1^\ast 0$ $G$ $1^\ast 0$ $0$ $G$ $H \in \mathcal G$ $H(1,0) = 1$ $\{G,H\}$ $H \in \mathcal G$ $H(1,1) = 0$ $11^\ast 0$ 通过将应用于前两位，将字符串转换为形式的字符串。否则，将无法构造接受。因此，对于包含蕴含类门的任何门集 math，OPSAT是容易的。 $(1^\ast 0)^\ast$ $H$ $x$ $x \in 1^\ast 0$

$\mathcal G$
否定投影。考虑门和。我们认为与的分析相似。就其本身而言，可以接受任何字符串为通过减少最终位以单个比特，然后应用 ; 并且它可以通过将最后的位减少为一位，然后应用电路类似地，对接受 $\neg \pi_1(x,y) = \neg x$ $\neg \pi_2(x,y) = \neg y$ $\neg \pi_1$ $\neg \pi_2$ $\neg \pi_1$ $0(0|1)^{n-1}$ $n \geqslant 2$ $n-1$ $\neg \pi_1$ $1(0|1)^{n-1}$ $n \geqslant 3$ $n-2$ $\neg \pi_1(\neg \pi_1(x_1, x_2),x_3)$ 。电路不能接受的唯一输入为或；确定任何补充门是否接受这些都是微不足道的。因此，OPSAT对于投影的求反很容易。 $\neg \pi_1$ $10$ $11$
奇偶与平等。考虑门。门集显然只能由奇数1s 的字符串精确地满足；我们考虑添加任何其他门的好处。 $\PARITY(x,y) = (x \ou \neg y) \et (\neg x \ou y)$ $\mathcal G = \{\PARITY\}$ $x \in \{0,1\}^n$
- 任何同时包含和或都可以模拟分别为固定输入包含或门的电路。OPSAT的简单案例。 $\PARITY$ $\AND$ $\NOR(x,y) = \neg(x \ou y)$ $\OR$ $\NAND$
- 任一或可用于任一模拟或上偶校验的两比特串，以便我们可以减少与这些栅极集门和到前面的情况。 $\pi_1(x,y) = x$ $\pi_2(x,y) = y$ $\AND$ $\NOR$ $\PARITY$
- $\PARITY$ 与是不言而喻的。 $\EQUAL = \neg \PARITY$
- 如果我们补充与栅极，我们可以接受除了任何偶数奇偶校验串通过施加，以的字符串，然后将电路应用于其余部分。类似地，与可以接受任何字符串，但形式为字符串除外。同时使用和补充允许我们构建接受除和 $\PARITY$ $G_{01} = \neg x \et y$ $x \in (11)^\ast 0^\ast$ $G_{01}$ $01$ $x$ $\PARITY$ $\PARITY$ $G_{10} = x \et \neg y$ $x \in 0^\ast (11)^\ast$ $\PARITY$ $G_{01}$ $G_{10}$ $x \in 0^\ast$ $x = 11$ 。
- 最后，如果我们用常数门补充，则可以通过将门应用于来接受除或之外的任何输入。子字符串或，减少为奇校验位。 $\PARITY$ $Z(x,y) = 0$ $x \in (11)^\ast$ $x \in 0^\ast$ $G$ $01$ $10$
因此，OPSAT对于任何包含 math都是容易的。门和门也适用类似的分析：因为，电路的门基本上计数的数目的奇偶性 S IN的输入端。然后，我们可以通过交换和的分析减少为的分析。 $\mathcal G$ $\PARITY$

$\EQUAL$ $\PARITY$ $\EQUAL(x,y) = \neg \PARITY(x,y) = \neg \PARITY(\neg x, \neg y)$ $\EQUAL$ $0$ $\EQUAL$ $\PARITY$ $0$ $1$
投影门。使用的门和只能建立分别接受以开头或结尾的字符串的电路。考虑用其他任何门来增加门的效果（类似的分析适用于）： $\pi_1(x,y) = x$ $\pi_2(x,y) = y$ $1$ $\pi_1$ $\pi_2$
- 同时允许和可以构建“选择”电路，该电路仅从输入中输出任何一位。这些可以接受任何，并与任何补充栅极他们针对允许满意电路用于任何建造。 $\pi_1$ $\pi_2$ $x \ne 0^n$ $G$ $G(0,0) = 1$ $x$
- 如果我们用或补充，我们可以为固定输入模拟或类似蕴含的门；这两种情况都解决了OPSAT问题。 $\pi_1$ $\NOR$ $G_{01} = \neg x \et y$ $\OR$
- 如果我们给添加，，常数门或它们的任意组合，我们将没有额外的接受能力，因此我们仍然只能接受以开头的字符串。 $\pi_1$ $\AND$ $G_{10} = x \et \neg y$ $Z(x,y) = 0$ $1$
因此，对于其他任何门，我们都可以用（或）来补充，我们要么获得一个集，要么仅获得（或）就没有额外的接受能力，或者可以简化为更简单的OPSAT情况。然后的任何实例OPSAT与或是容易的。 $\pi_1$ $\pi_2$ $\pi_1$ $\pi_2$ $\pi_1 \in \mathcal G$ $\pi_2 \in \mathcal G$
三角函数门。考虑只有两个输入的两个门的满足：，，和。仅用门构成的电路只能接受字符串：用任何其他增量函数门进行补充可以使它们模拟，或，这是解决的情况；类似的说明适用于。同样，门集也可以用来模拟 $\AND$ $\NOR$ $G_{10}(x,y) = x \et \neg y$ $G_{01}(x,y) = \neg x \et y$ $\AND$ $1^\ast$ $\EQUAL$ $\pi_1$ $\pi_2$ $\NOR$ $\{G_{01}, G_{10}\}$ $\PARITY$ 门。因此，我们可能专注于门或，可能会加上门。我们关注，而情况与此类似。通过将任意电路应用于最后的位，然后应用电路可以构建仅由电路以接受（字符串除外）。。显然，字符串不能被或；我们可以通过归纳证明任何 $G_{10}$ $G_{01}$ $Z(x,y) = 0$ $G_{10}$ $G_{01}$

$G_{10}$ $1(0|1)^{n-1}$ $11$ $n-2$ $G_{10}(x_1, G_{10}(x_2, x_3))$ $11$ $G_{10}$ $Z$ $G_{10}$ 接受字符串的电路必须在最左边的分支中的门的中间结果全部产生，直到最左边的输入本身为止。通过添加门无法获得额外的好处。因此，电路只能接受。 $1$ $Z$ $G_{10}$ $x \in 1(0|10|11)(0|1)^\ast$
最后，仅由门组成的电路不接受任何输入。 $Z$

当每个门都产生一个定义明确且通常相当大的输入类别时，随着其他门趋于平息这个问题，我们发现2-TREE-OPSAT在P中。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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@DSounders：关于您最近对问题的修订，确定是否存在将映射到某个目标值的电路，而不仅仅是特殊情况，如我现在的答案所示的分析仍然足以表明问题在P中 ; 只有大门的作用改变了。例如，在交换期望的结果和，我们有效地交换了AND和OR，NAND和NOR，类似于蕴涵的门与其他delta函数等的角色

$C$

$x$

$b \in \{0,1\}$

$b = 1$

$0$

$1$

— Niel de Beaudrap 2012年