温和介绍有价图的图同构

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我正在阅读有关图同构（ $GI$ ）在。一种这样的情况下是有界价（最大在每个顶点的程度）的曲线图所说明这里。但是我发现它太抽象了。如果有人可以向我建议一些说明性的内容，我将不胜感激。我在小组理论方面没有很强的背景，所以我更喜欢以柔和的方式使用小组理论的论文（我的背景是CS）。 $P$

— 杜尔加·达塔
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我没有这本书（不幸的是），但是JohannesKöbler，UweSchöning和JacoboTorán撰写的《图同构问题：其结构复杂性》可能包含有界度情况的证明。您可能要检查一下。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

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@TsuyoshiIto：虽然这是一本非常出色的书，它很好地介绍了GI以及相当多的一般结构复杂性，但是关于有限度情况并没有太多（如果有的话）。我不了解对有界度案例的温和介绍，但是它与群体理论方法紧密相关，以至于我怀疑有一种论述是“仅轻轻地”使用群体理论的（根据OP的要求）。

— 2012年

我渴望给出一个概述，我会尽快做的！

— 吉姆（Jim）

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有界图同构的算法与（置换）群论紧密相关，以至于我怀疑是否有介绍“仅轻轻地”使用群。但是，您可以咨询Paolo Codenotti的博士学位。论文以获得更完整的背景知识。他没有完全涵盖有界图同构，而是涵盖了所需的工具（本论文的其余部分是关于有界秩超图的，将最广为人知的通用图同构算法扩展到有界秩超图的情况）。

您可能还会发现“ 组理论算法和图同构”这本书很有用，因为它涵盖了大多数必要的背景知识（第2章，“基本概念”，共47页），并且比大多数有关该主题的已发表论文更为轻松地阐述。话题。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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表示法： 令为图，为的边。顶点集是设定距离的顶点从 $X = (V,E)$ $e = (v_1, v_2)$ $X$ $V_k$ $k$ ，并让是的高度。 $e$ $h$ $X$

据的定义，和。令的边的子集 $V_k$ $V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$ $V_{(h+1)}= \emptyset$ $E_k$ 是定义原样 $X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

子图定义为- $X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

例如， $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

是曲线图的自同构组其中是固定的。如果是的发电机组，我们写，例如，很显然， $Aut_e(X)$ $X$ $e$ $B$ $Aut_e(X_k)$ $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ $(v_1,v_2)$ $v_1, v_2$ $X$

$X$ $X$ $Aut_e(X)$ .

Technique:

We will construct $X_0, X_1..... X_h$ . For each, $X_k$ we will construct $Aut_e(X_{(k)})$

Note that, a permutation of $Aut_e(X_{(k) })$ may be extended to an automorphism of $Aut_e(X_{(k+1)})$ .

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$ .

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$ . Then, we use the generator of $Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$ , as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .

— Jim
source

[1]Mathon, Rudolf. ,A note on the graph isomorphism counting problem, Inform. Process. Lett. 8 (1979), no. 3, 131–132.

— Jim