以下问题NP难吗？

考虑在基本集上集合的集合其中和，令为正整数。$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$

的目标是找到组另一集合超过使得每个最多可被写为一个联盟相互不相交集在，我们也希望最小化（即，所有集中元素的总数应尽可能小）。$C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$$U$$F_i$$k$ $(k<<|C|)$ $C$$\sum_1^m |C_j|$$C$

请注意，与具有相同的大小，但的大小不确定。$F$$U$$C$

谁能说出上述问题是否对NP不利？（设置覆盖物？包装？完美覆盖物）

谢谢你的时间。

引理。 问题是NP难。

证明草图。 我们无视约束$|F_i| \ll n = |U|$在发布的问题中，因为对于问题的任何实例$(F,U,k)$，实例$(F'=F^n,U'=U^n,k)$通过取（F的$n$独立副本的并集而获得，U ，k ）（其中i$(F,U,k)$$i$的个复制$F$使用$i$的第复制$U$作为其基本组）是等价的，并且满足约束（它有$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$）。

我们从3-SAT减少。对于演示文稿，在还原的第一阶段，我们忽略了约束$e_i \in F_i$在贴出的问题。在第二阶段，我们描述了如何在保持缩减正确性的同时满足这些约束。

第一阶段。修正任何3-SAT公式$\phi$。假设WLOG，每个子句正好具有三个文字（每个文字使用不同的变量）。产生发布的问题的以下实例$(F,U,k)$，$k=3$。

令n为ϕ中的变量数。有3个Ñ + 1元素ü：一个元件吨（为“真”），并且，对于每个变量X 我在φ，三个元件X 我，¯ X我，和˚F 我（为“假”）。$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

对于U中的每个元素，都有一个单例集，仅包含F中的该元素。任何溶液Ç因此包括每个这些组，这有助于它们的总大小的3 Ñ + 1到的成本Ç。$U$$F$$C$$3n+1$$C$

此外，对于每个变量X 我在φ有一个“可变的”集合{ X 我，¯ X我，˚F 我，吨}在˚F。对于每个子句φ有处于“条款”组˚F组成的条款，并在文字的吨。例如，第X 1 ∧ ¯ X 2 ∧ X 3个产率集合{ X 1，＆OverBar; X 2，$x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3，t }在 F中。$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

要求1. 减数是正确的：如果某些解C的成本为∑ j，则 ϕ是满足的。Ç Ĵ | = 5 Ñ + 1。$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

（仅当）假设φ是满足的。构造一个由3 n +1 个单例集组成的解决方案C，此外，对于每个变量x i，由真实文字和t组成的对。（例如，{ ¯ X我，吨}如果X 我是假的。）的成本Ç然后5 Ñ + 1。 $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

每个变量集{ X 我，¯ X我，˚F 我，吨}是三个集合的并集：所述一对由真实字面和吨，加上两个单套，一个用于每个其它两个元件。（例如，{ ¯ X我，吨} ，{ X 我 } ，{ ˚F 我 }。）$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

每个子句集（例如{ X 1，＆OverBar; X 2，X 3，吨}）是三集合的并集：一对由吨和真正的文字，加上两个单套，一个用于每个其它两个文字的。（例如，{ X 1，吨} ，{ ¯ X 2 } ，{ X 3 }）。$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

（如果）假设有一个溶液Ç尺寸的5 Ñ + 1。该解决方案必须包含3 n +1 个单例集，以及其他总大小为2 n的集。$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

首先考虑Ñ “可变的”组，每组形式的{ X 我，¯ X我，˚F 我，吨}。该集合是C中最多三个集合的不交集并集。在不失一般性的情况下，它是两个单例和一对的不相交的并集（否则，C中的拆分集可在不增加成本的情况下实现这一点）。表示对P i。在对P 我和P Ĵ为不同的变量X 我和X Ĵ是不同的，因为$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$P 我包含 X 我， ¯ X我，或 ˚F 我但 P Ĵ没有。因此，这些对的大小之和为 2 n。因此，这些对是解决方案中唯一的非单子集。 $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

接着考虑“条款”集，例如，{ X 我，¯ X Ĵ，X ķ，吨}。每个这样的集合必须是C中最多三个集合的并集，即最多两个单例集合和至少一对P i，P j或P k。通过对与所述第一套的检查中，必须有两个单身，和一对的联合，以及对必须是这样的形式{ X 我，吨}或{ ¯ X Ĵ，吨$\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$（一个文字和t）。$t$

因此，下面的赋值满足φ：分配真实到每个变量X 我使得P 我 = { X 我，吨}，分配假到每个变量X 我使得P 我 = { ＆OverBar; X我，吨}，并分配剩余变量任意。$\phi$$x_i$$P_i=\{x_i, t\}$$x_i$$P_i=\{\overline x_i, t\}$

第2阶段的实例（˚F ，û ，ķ = 3 ）上述制作不满足约束ë 我 ∈ ˚F 我在问题描述说明。修复该缺点，如下所示。对U中的集合F i和元素e i进行排序，以使每个单例集合对应于其元素e i。令m为ϕ中子句的数量，因此| F | = 1 + 4 n $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$m和 | U | = 1 + 3 n。$|F|=1+4n+m$$|U|=1+3n$

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$. Let $U'=U\cup A$. Let $F'$ contain the singleton sets from $F$, plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$, two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$, where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$. Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$.

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$.

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$, adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$, so these partition $A$) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$.

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$. Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$. Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$. By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$. $\diamond$