集体行动方面的高斯消除

高斯消除使矩阵多项式时间的行列式成为可计算的。复杂的在计算的决定因素，其否则总结指数项的减少，是由于替代负的符号（缺乏这些使得计算永久是存在$\#P\mbox{-}hard$即较硬然后。$NP\mbox{-}C$问题） 。这导致行列式具有某种对称性，例如，交换一对行或列只会使符号相反。我在某处（可能与Valiant提出的全息算法有关）读到，高斯消除可以用组动作来解释，这反过来又导致了降低复杂性的通用技术。

另外，我觉得对于任何计算问题而言，降低复杂性的几乎所有来源都是某种对称性。是真的吗 我们可以按照群体理论严格地将其形式化吗？

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我找到了参考。（第2页，第二段最后一行）。我没有正确理解本文，如果我的问题是基于对本文的错误理解，请纠正我。

$n$$n^2$

你可以找到一个写了这一切-这里行列式的对称性被用来做高斯消元，一路上证明行列式的特点是其对称性的-在命题3.4.3 我的论文（无耻的自我插头-但另外，我从未见过它像OP所要求的那样用这种方式措辞并写得很详细，尽管我确定它已经完成了；如果有人有其他参考文献，我会很高兴。

关于对称总是导致（或不导致）复杂性降低的想法，除了注释中已有的内容外，请参见此问题及其答案。

有趣的一点是，在Valiant的第一篇关于现在称为Valiant的代数复杂性理论版本的论文中，他试图指出这一点，行列式在计算上很重要的原因是因为（当时）已知的几乎所有有效算法都可以可以简化为线性代数，从而可以计算行列式，例如用于计算平面图中匹配项的FKT算法。这当然是一种夸张，但全息照相算法的研究继续证明了这一点，全息照相算法通常简化为计算Pfaffian（行列式的近亲）。确实，Valiant知道这是一种夸张，但是这里的确切引述只是为了确保我不会歪曲（L. Valiant。代数中的完整性类。ACMSTOC 1979）：

我们的主要结论可以概括如下：

（a）线性代数本质上是计算中度多元多项式的唯一快速技术

（b）...

在某些情况下，问题的对称性（似乎）表征了问题的复杂性。一个非常有趣的示例是约束满足问题（CSP）。

CSP的定义

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

多态性

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

例如，线性方程组的多态性为。注意。满足此属性的被称为Maltsev运算。具有Maltsev多态性的CSP可通过高斯消除来解决。$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

另一方面，3个文字的析取词仅将独裁者作为多态，即类型。$f(x, y) = x$

多态性和复杂性（二分法猜想）

其实多态性计算的影响：如果CSP承认的所有多态性，然后是多项式时间归结为。这是一种方式来正式说，一个CSP比另一个CSP“不太对称的”其实更难。$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

复杂性理论中的一个主要开放问题是表征CSP的硬度。Feder和Vardi的二分法猜想指出，任何CSP都是P或NP完全的。猜想可以简化为关于多态性的陈述：CSP仅当其承认的唯一多态性是“独裁者”时才是NP困难的（否则在P中）。也就是说，只有在没有本地方法从旧解决方案中形成真正的新解决方案的情况下，CSP才会很难。if部件（硬度）是已知的，但是if部件（设计多重时间算法）是唯一的。

但是，我们确实存在二分法的一个重要情况是布尔CSP（其中）。根据Schaefer定理，如果布尔CSP接受6个多态性之一，则它位于P中，否则它是NP完全的。基本上，这六个多态是通过高斯消除或传播（例如，对号角卫星进行的处理）来解决问题或通过微不足道的分配来解决问题所需要的。$U = \{0, 1\}$

要了解有关多态性，通用代数和二分法猜想的更多信息，可以查看Bulatov的调查。

多态性和近似性

我还推荐Prasad Raghavendra进行的IAS演讲，他将自己的结果假设在相似的框架中具有独特的博弈猜想，则可以提供任何CSP的最佳近似性。在较高的层次上，如果CSP的所有多态性（需要将其多态化以处理近似问题）都接近于独裁者，则可以使用CSP设计一种测试函数是否为独裁者的方法，结果证明是您所需要的，以使独特游戏的逼近度降低。这给出了结果的硬度方向；算法的方向是，当CSP具有远离独裁者的多态性时，可以使用不变性原理（中心极限定理的一般化）来证明SDP舍入算法可以提供良好的近似。对于算法部分而言，这确实是一个粗略的直觉：远离独裁者的多态性不会 请注意是否将其作为变量分配的自变量（分布）或局部近似于变量分配的高斯随机变量给出。通过中心极限定理，如果求和函数被给予具有较小方差的离散随机变量或具有相同方差的高斯rv，则其与“无关”相同。我们需要的高斯随机变量可以通过CSP问题的SDP松弛来计算。因此，我们发现了一个远离独裁者的多态性，将其提供给高斯样本，并得到了很好的解。如果给定具有较小方差的离散随机变量或具有相同方差的高斯rv，则通过中心极限定理。我们需要的高斯随机变量可以通过CSP问题的SDP松弛来计算。因此，我们发现了一个远离独裁者的多态性，将其提供给高斯样本，并得到了很好的解。如果给定具有较小方差的离散随机变量或具有相同方差的高斯rv，则通过中心极限定理。我们需要的高斯随机变量可以通过CSP问题的SDP松弛来计算。因此，我们发现了一个远离独裁者的多态性，将其提供给高斯样本，并得到了很好的解。