奇偶三角洲问题

令为图。令是一个整数。令为具有个顶点和奇数个边的的边诱导子图的数目。令为具有个顶点和偶数个边缘的的边缘诱导子图的数量。令。给定和，偶数问题在于计算。$G = ( V, E )$$k \leq |V|$$O_k$$G$$k$$E_k$$G$$k$$\Delta_k = O_k - E_k$$\Delta_k$$G$$k$

问题

1. 是否可以在多项式时间内计算？哪种算法最知名？$\Delta_k$
2. 如果是3正则表达式怎么办？$G$
3. 如果是3个规则的二分法怎么办？$G$
4. 如果为3正则二分平面怎么办？$G$

即使在3规则的二分平面图中，奇偶偶数问题也是#P困难的。

令为一般图的顶点覆盖集。然后，假设没有孤立的顶点，则以下等式成立（有关证明，请参阅上面的文章）：$\mathcal{C}$$G$$G$

$$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$$

即使在3个规则的两部分平面图上，顶点覆盖数的计算也是#P完整的，并且可以通过线性调用奇偶偶数oracle来完成。

更新：

我应该指出，下面的答案是关于的特殊情况的。由于这种情况很困难，因此一般的问题也很困难。$k = |V|$$k$

Holant框架本质上是跨子图的指数总和（即，所有顶点都存在于子图中，因此总和位于边的子集上）。相反，当前版本的问题是关于边诱导子图的。

这个问题的较早版本涉及计数没有隔离顶点的某些子图。下面的答案正确解决了这一要求。当同时考虑跨越子图（即Holant框架）且不考虑孤立顶点时，这与考虑具有边诱导子图相同顶点。OP在这个问题上基本上指出了这一点。$|V|$

3正则平面图

目前，我将忽略您对图是二分图的要求。$G$

假设是一个3正则平面图。您的问题可以表示为两部分平面Holant问题$G$

$$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$$

让我解释一下。有关比我在下面提供的更多详细信息，请参阅本文。

Holant是对边的（布尔）分配的总和。在顶点处是约束，谁的输入是对其入射边的分配。对于每个边的赋值，我们采用所有顶点约束的乘积。

您没有隔离顶点的要求是，如果没有选择其某个入射边，则在特定顶点上将不满足约束；如果至少选择一个边，则将满足该约束。此对称约束由[0,1,1,1]表示，当输入1的数目为0（即子图中没有入射边）时，输出0（即不满足），而当数目为1时，其输出为1（即满足）。输入1的总和为1、2或3（即子图中的1、2或3个入射边）。

您的另一个要求是计算边数为偶数的子图的数量减去边数为奇数的子图的数量。对于我们的图形，我们用长度为2的路径（也称为的2拉伸）替换每个边。这给出了（2,3）-正则二部图。对于所有原始顶点，我们从上方分配约束[0,1,1,1]。对于所有新顶点，我们分配约束[1,0，-1]。由于此约束的中间条目为0，因此这将迫使这些2度顶点的入射边都被分配为0（即不在子图中）或都被分配为1（即在子图中）。现在对于边缘的特定分配，如果数字$G$$G$$n$如果“原始”边的θ是偶数，则所有2度顶点的贡献为。否则，为奇数，贡献为。这正是您想要的。$(-1)^n = 1$$n$$(-1)^n = -1$

这二部Holant问题是＃P-很难通过定理6.1 本文。但是，该定理并非最容易应用。相反，请考虑以下内容。

我们通过进行全息变换这不会改变Holant的值。因此，上述问题与$T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

$$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$$

那么很容易看出，这个问题是＃P-很难通过定理1.1在本文中。

限制为二部图

就像您之前的问题一样，仅限于二部图的相同问题很难处理，我相信这仍然是一个开放性问题。我们对易处理的情况有一个猜想（我将检查您的问题是否是其中之一），但是我认为即使限制在二部图上，您的问题仍然是#P难题。