可以使用Linial-Mansour-Nisan定理和的傅立叶谱知识来证明吗？

结果1：Linial-Mansour-Nisan定理说，电路计算的函数的傅立叶权重集中在小尺寸子集上，概率很高。 $\mathsf{AC}^0$

结果2：的傅立叶权重集中在度数。 $\mathsf{PARITY}$ $n$

问题：是否有办法通过/使用结果1和2 证明电路无法计算？ $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
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这不是Linial-Mansour-Nisan定理的明显应用吗？LMN定理的证明方法（特别是是否由概率论证出）无关紧要。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

同时，Linial-Mansour-Nisan定理不是通过假设Hastad定理证明的吗？在我看来，它就像一条追逐自己尾巴的狗...

— Alessandro Cosentino

这就是在Ryan O'Donnell的笔记中得出近似奇偶校验的AC0电路大小的下界的方式。见推论32

— Sasho尼科洛夫

我认为，您的评论中有一个更有趣的问题：每个函数的傅立叶谱集中在可通过小型AC0电路计算的低级系数上。

— Sasho Nikolov 2012年

@Strattav然后您可以问这个问题。

— 泰森·威廉姆斯

LMN定理表明，如果f是一个布尔函数由一个可计算的中号电路的尺寸， $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

只不过是F的经奇偶函数的相关性。令是不同于的输入分数。 $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

因此，如果M为，则等于， $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

所以，LMN定理不仅证明了不能通过计算的电路，它也表明，具有低相关性的的电路。 $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— 图拉西
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