可能与树宽有关的图形参数

我对可以通过以下过程生成的个顶点上的图形感兴趣。$n$

1. 开始与任意图上ķ ≤ Ñ顶点。将G中的所有顶点标记为未使用。$G$$k\le n$$G$
2. 通过添加一个新的顶点v来生成一个新的图，该顶点连接到G中的一个或多个 未使用的顶点，而不连接到G中的任何已使用的顶点。将v标记为未使用。$G'$$v$$G$$G$$v$
3. 在顶点的标签一个到v作为连接使用。$G'$$v$
4. 将设置为G '，然后从步骤2开始重复，直到G包含n个顶点。$G$$G'$$G$$n$

称此类图为“复杂度图 ”（模糊术语的道歉）。例如，如果G是复杂度1的图，则G是一条路径。$k$$G$$G$

我想知道是否曾经研究过此过程。特别地，对于任意，确定图是否具有复杂度k是否为NP完全？$k$$k$

这个问题似乎有点类似于是否是部分k树，即树宽k的问题。已知确定G是否具有树宽k是NP完全的。但是，某些图形（例如，星形）的树宽可能比此处讨论的复杂程度小得多。$G$$k$ $k$$G$$k$

2012年10月4日：一个星期后没有确定的答案后，问题交叉发布到MathOverflow（尽管感谢有关因果关系的信息）。

尽管我们之前曾亲自聊过这个问题，但我还是希望补充一下，以希望其他人可以提供完整的答案。

在加入顶点的过程中，定义了一个局部函数从每个顶点v其被使用，当其中加入顶点v习惯。然后证明f是（因果）流量函数（第39页），它是路径覆盖的受限版本。确实，您对这些“复杂度k ” 图的描述（给定了一组顶点，这些顶点将是最初未使用的顶点，而最终是未使用的顶点）正是因果流（“ p”）的“几何”的星形分解。以上文章第46条）。$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

尽管这些“因果流”主要是在（基于测量的）量子计算的背景下进行研究的，其中它们是由unit电路的某些结构所激发的，但是关于它们的图论结果却与量子计算完全不同：

唯一性模端点：用“复杂的曲线  ”正是那些对于其存在（可能相交）将小号，Ť ⊆ V （G ^ ），无论大小的 ķ，使得 ģ具有大小中的恰好一个路径盖 ķ其路径从 S开始，在 T结束。$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

极值图：在个顶点上具有“复杂度 k ”的图最多具有 k n − （ k + $n$$k$边缘。$kn - \binom{k+1}{2}$

使用这些结果，给定候选集，可以在时间O （k 2 n ）中确定以这种方式确定它们是否“服从”唯一的路径覆盖。但是找到这样的端点集是否存在显然是困难的，上面的极值结果（仅是必要条件）似乎代表了确定这些集是否存在的有效标准的最新技术水平。$S,T$$O(k^2 n)$

复杂的所有图表至多路径宽度ķ。在每个步骤中，未使用的节点集都是一个分隔符，用于将已使用的节点与已创建的节点分开。因此，在每个步骤中，添加顶点时，都可以创建一个包含该顶点以及所有未使用顶点的包，并在路径分解的最后连接该包。这将是有效的路径分解。$k$$k$

由于在点3和2中“连接了哪个 ”，因此路径宽度可能比k小得多。我不确定要确定G是否为复杂度k，但正如Niel所说，必须有大小为k的路径覆盖，而不仅是路径覆盖，还必须归纳出路径。在路径之间，我们可以采用这种Z字形模式。我们所用的˚F （ķ ）⋅ p Ô 升ý （Ñ ）时间计算最佳路径分解，那么我们可以用这种分解做动态编程，同时保持这些轨道的不同段的$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$路径，它们所属的路径以及属于同一路径的段的顺序。对于属于不同路径的每一对线段，我们只需要知道锯齿形的第一个和最后一个路径。

$k$$f(k) \cdot poly(n)$