是否所有函数的傅立叶权重都集中在AC0电路计算的小型集合上？

所有其傅立叶权重集中在电路的小集合（或低度项）上的函数吗？ $\mathsf{AC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity boolean-functions fourier-analysis

— Stattrav
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这个问题听起来很有趣，尽管我缺乏傅里叶分析的某些背景知识。我希望参考相关文献。

— Markus 2012年

@Markus：Ryan O'Donnell撰写的这本书2.0是很好的参考书：contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

与Linial，Mansour，Nissan 1993几乎相反？aarons结果，广义Linial-Nissan的反例似乎接近？但是恕我直言，必须有一种方法可以某种程度上概括1993年的结果……也许在

— 很大程度上。

另一个类似的想法，而不是AC ^ 0，更难以反驳，它将是深度不受限制的，但总的门限电路受一些“小”函数的约束，比如多项式等等。还不很了解单调电路和傅立叶系数之间的关系...？

— vzn

另请参阅braverman

— vzn 2012年

Answers:

号考虑在下面的函数： $\{0,1\}^n$ 显然，该功能对于AC⁰来说很难。另一方面，该函数几乎是常数，因此几乎所有傅立叶谱都处于第一级。

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

如果你想有一个平衡的反例，考虑

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
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您是否有一些健壮的示例，无法在AC0中近似该函数？

— MCH 2012年

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

A C^{0}

$AC^0$

@Arul傅立叶级由与给定大小的集合相对应的所有傅立叶系数组成。我们认为它们按大小递增的顺序排列。至于为什么此功能对AC0很难，这是一个练习。提示：奇偶校验对于AC0来说很难。

— Yuval Filmus 2015年

根据“小尺寸”和“集中”的确切含义，有几种理解该问题的方法。

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2）有一个布尔加因定理，即如果浓度远高于多数函数的浓度，则该函数近似为Junta，因此取决于O（1）变量。

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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