随机图上的哈密顿循环数

我们假设。那么以下事实是众所周知的： $G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

\begin{array}{rcl} P r [G has a Hamiltonian cycle] = {\begin{cases} 1 & (c (n) \to \infty) \\ 0 & (c (n) \to - \infty) \\ e^{- e^{- c}} & (c (n) \to c) \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$

我想知道有关随机图上哈密顿循环数的结果。

Q1。上的哈密顿环的预期数量是多少？ $G(n,p)$

Q2。对于上的边缘概率，概率是什么？ $Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$ $p$ $G(n,p)$

graph-theory co.combinatorics randomness

— 埃利
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您可能可以自己回答Q1。提示：期望的线性。

— Yuval Filmus，2012年

正如Yuval所说的，Q1很容易使用期望的线性来回答（扰流器：）。我不知道Q2的确切答案，但如果知道它很低的话，可能就足够了：对于至少有一个周期的范围，它认为左右。换句话说，一旦有一个周期，就会有很多。原因是，一旦有一个周期，大约有 $(n-1)!p^n$ $p$ $P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$ $n^2$ 通过用两个“交叉”边交换循环的两个边来从中创建另一个循环的方法（这称为“ 2-翻转”或某些相关的东西文献）。对于任何一对边缘，您都可以这样做。因此，对于所有这些失败的机会这大概是，这是非常微小的。 $p^2$ $(1-p^2)^{n^2}$ $e^{-(pn)^2}$

— 匿名麋
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