允许旋转时矩形填充的复杂度是多少？

在矩形包装问题，一种被给予一组矩形和边界矩形ř。任务是找到R内r 1，… ，r n的位置， 以使n个矩形都不重叠。通常，每个矩形r i的方向是固定的。即，矩形不能旋转。在这种情况下，已知该问题是NP完全的（参见，例如，Korp 2003）。$\{r_1,\dots,r_n\}$$R$$r_1,\ldots,r_n$$R$$n$$r_i$

如果矩形可以旋转度，那么矩形填充问题的复杂性是什么？$90$

直观地讲，允许旋转只会使问题更加棘手，因为首先应该为每个矩形选择一个方向，然后再解决不旋转的填充问题。但是，不旋转情况下的NP硬度证明是减少了装箱的麻烦，并且似乎严格依赖于每个矩形的固定方向来构造装箱。对于允许旋转的情况，我无法找到相应的NP硬度证明。

我们可以将无旋转包装问题减少到允许旋转的包装问题，如下所示。取无旋转问题的任何实例。垂直放大整个实例的比例为任何矩形r i的最小宽度与容器矩形R的高度之比的两倍。（该比率具有多项式位数，因此可以在多项式时间内执行转换。）每个缩放的矩形r $(R, r_1, r_2, \dots, r_n)$$r_i$$R$仅以其原始方向安装在缩放后的容器 R '内，因此允许旋转不会增加新的解决方案。$r'\!\!_i$$R'$