近似计数问题捕获BQP

在黑匣子模型中，确定BPP机器在输入上的输出的问题是确定加法误差为1/3的的近似计数问题（例如）。 $M(x,r)$ $x$ $E_r M(x,r)$

BQP是否有类似的问题？Ken Regan的评论暗示了这样的问题

您可以将BPP问题简化为近似一个#P函数，但是使用BQP，您得到的是两个#P函数的差，将它们称为和。当接近零时，分别近似和并不能帮助您近似！ $f$ $g$ $f$ $g$ $f - g$ $f - g$

BQP确实为您提供了一些帮助：当输入上的BQP问题的答案为是时，您会得到接近平方根，其中计数谓词定义了在替换之后，和具有m个二进制变量。（没有绝对值条；“神奇地”总是得到。在BQP量子电路的通用表示下， $x$ $f(x) - g(x)$ $2^m$ $f$ $g$ $x$ $f(x) > g(x)$ $m$ 变为Hadamard门的数量。）如果答案为否，则差接近0。

您能否精确地提出与BQP尽可能接近的问题？我希望有一些类似的东西：赋予黑盒对函数访问权将映射到，并承诺...，将估计到内。 $f,g$ $X$ $Y$ $f-g$ $\varepsilon$

cc.complexity-theory quantum-computing black-box

— 马努
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我认为肯·里根的评论是指由Fortnow和罗杰斯结果BQP⊆AWPP（JCSS 1999; people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/quantum.pdf）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

Answers:

Emanuele：不幸的是，我们不知道捕获BQP会像您提到的捕获BPP一样简单。

直观地讲，这是因为如果不以一种或另一种形式引入统一性，就很难谈论BQP 。总结正反两方面的数字的能力是什么使BQP比BPP更强大，但后来幺是什么使得BQP 少比#P强大！:-)

话虽如此，除了道森等。纸马丁施瓦茨的联系，你一定要看看这个和这个由Janzing和Wocjan，这给“令人惊讶的经典外观”承诺的问题，捕捉BQP。

同样，令S⊆{0,1} ⁿ，并考虑布尔函数f：S→{0,1}。然后我有一个从几年前开始的猜想，即Q（f）（f的有界误差量子查询复杂度）与实多项式p：R ⁿ →R 的最小次数在多项式上相关，从而

（i）对于所有x∈{0,1} ⁿ，p（x）∈[0,1]

（ii）| p（x）-f（x）| 对于所有x∈S≤ε。

如果这个猜想成立，那么“近似计数问题捕获BQP”将简单地是在布尔立方体的指定点上近似polylog（n）-度多项式p：R ⁿ →R的值，假定p为在布尔立方体上无处不在。这可能与您对问题的答案差不多。

— 斯科特·亚伦森
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谢谢。我检查了这个答案，因为“这可能与您对问题的答案差不多。” 问题：“ S”在您的猜想中起什么作用？我迷茫了（我）谈论{0,1} ^ n和其余谈论S.

— 吉诺比利

Emanuele：如果S = {0,1} ^ n，则f是一个布尔函数。在那种情况下，已经知道量子查询复杂度与近似度（以及确定性和随机查询复杂度）在多项式上相关。因此，有趣的情况是f是部分布尔函数：即，量子算法只需要在满足x属于S的诺言的输入上工作即可。在这种情况下，像Simon的量子算法（其指数胜过最佳经典算法）成为可能。

— Scott Aaronson

请注意，尽管量子算法只需要对属于集合S的输入计算f，但算法对不在 S中的输入的接受概率仍属于区间[0,1]！听起来很傻，这通常是通过多项式方法证明量子下界的关键观察。而且，如果我不要求{0,1} ^ n中的所有x（即使x不在S中）都将多项式p限制在[0,1]中，那么我的猜想将是微不足道的。

— Scott Aaronson

本文详细阐述了上面略述的思想。

— 马丁·施瓦兹
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Z_{2}

$Z_2$

@Emanuele Viola，@ Martin Schwarz：我真的不明白本文如何回答原始问题。首先，本文根本没有谈论黑匣子问题。我似乎无法从纸上得出问题中所要求的那种黑匣子问题的清晰表述。也许你们其中一个可以阐明这一点？

— 罗宾·科塔里

@罗宾·科塔里（Robin Kothari）：我同意，该纸不会像最初要求的那样产生黑匣子问题。不过，它确实阐述了肯·里根的评论。我应该把它作为“评论”而不是“答案”。

— 马丁·史瓦兹

哦，好吧。没问题。因此，我想这个问题仍未解决。

— 罗宾·科塔里