lambda演算有中间的eta理论吗？

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lambda演算的主要研究理论有两种，即beta理论及其后期完全扩展，即beta-eta理论。

这两种理论之间是否存在一种中间eta规则，从而给出了融合的重写理论？是否存在一些与之相对应的有趣的局部可扩展性概念？

这是我追求中间eta时提出的第二个问题，前一个是lambda演算的beta理论的扩展，它导致了关于正交扩展概念的问题，即通过融合的重写规则来表征不可见的等价关系，从而试图阐明回答先前的问题。

lo.logic lambda-calculus extensionality

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对于键入的演算，如果考虑否定类型（，，），则可以基本随意打开或关闭eta规则，而不会影响合流。 $1$ $\times$ $\to$

对于正数类型（和，以及具有模式匹配消除的对），情况要复杂得多。基本上，问题是该术语是否具有封闭范围的消除形式，该形式使上下文与eta展开以复杂的方式进行交互。例如，如果具有类型，则其eta展开为 $e$ $A \times B$ 。但要获得等式理论类别理论家所期望的，你需要考虑上下文，并推广公式是 $\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$ $\mathbb{C}[-]$ （具有预期的作用域限制）。 $\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

我认为，如果您不允许通勤转换，您仍然可以证明合流结果。但这是传闻-我从来没有尝试过，也没有看过记录它的文件。

不过，我对无类型的λ演算一无所知。

编辑：查尔斯询问eta减少。这对于他寻求的示例是有希望的，因为我认为一般而言，它们不足以为完全平等理论建模，我将通过一个涉及布尔值的简单示例进行说明。的ETA-膨胀为布尔值是。（eta减少当然是另一个方向。） $\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

现在，考虑术语。表明该项等于 $\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$ 需要经过一个ETA-膨胀，因为我们必须更换在IF-THEN-别人的与一个和，以便驱动一个 -还原。 $\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$ $e$ $\mathsf{true}$ $\mathsf{false}$ $\beta$

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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我应该清楚地表明这与未类型化的lambda演算有关：撇开逻辑，这可能会导致不清楚。在类型化的情况下，我希望Post完整性对于〈→，×〉理论成立，但是我对其他类型完全不确定。 上下文与eta扩展以复杂的方式进行交互 -这是考虑eta减少的一种情况，不是吗，因为您不需要限制重写？

— 查尔斯·斯图尔特

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根据STLC和无类型lambda演算中编程语言基础的John C.Mitchell的说法，归约规则pair (proj₁ P, proj₂ P) → P在与fix归约（或者我从观察证明中假定）结合使用时会打破合流，而无条件情况没有这种条件。这是定理4.4.19（第272页）。

— 布莱索莱德
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我想这是对Neel的回答的扩展评论。 Klop＆De Vrijer（1989）研究了带有类型配对的无类型lambda演算的理论：确实存在eta约简的情况是不融合的，但该理论是一致的（在Scott的D_inf构造中有一个模型），他们提供了结果提示可以给出融合的，保守的斥素对改写理论（仍然是一个开放的问题，AFIAK）。

— 查尔斯·斯图尔特