算法和结构复杂性理论

计算复杂性理论，特别是“结构”复杂性理论中的许多重要结果，都具有有趣的性质，可以理解为它们从算法结果中基本遵循（如我所见...），从而为某些算法提供了有效的算法或通信协议问题。其中包括：

IP = PSPACE源自模拟交互协议的节省空间的递归算法，以及用于评估完全量化的布尔公式的有效交互协议。实际上，可以从两种有效的算法（一种针对A中的问题的算法，相对于B而言是有效的，反之亦然）来看，任何复杂性类相等性A = B都可以看作是遵循的。
证明某个问题的NP完全性只是在寻找一种有效的算法来减少NP完全性问题。
时间层次定理中的（可以说！）关键要素是图灵机的高效通用仿真。
$\not \supset$
该PCP定理是有效率的差距扩大是可能的约束满足问题。
等等等

我的问题（这可能是毫无希望的模糊！）如下：结构复杂性理论（与相对论障碍等“元结果”不同）是否有任何重要的结果，这些结果在效率方面没有自然的解释算法（或通信协议）？

cc.complexity-theory structural-complexity

我有点希望答案是“否”，因为我认为复杂性实际上是在理解算法的功能！我要说的不是奇偶校验等于，但是现在我不这么认为。您可以查看开关引理的随机算法，可以让你换一个电路的两行没有大尺寸的吹胀（它甚至可以去随机化（eccc.hpi-web.de/report/2012/116）。

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow 2012年

AshleyMontanaro：也许复杂性理论 “通过定义”与算法的（时间/空间）效率相关联。一旦离开效率，您会发现一些基本结果，例如无法确定停顿问题，但您不再属于“复杂性”领域。但是，我试图给出部分答案，我认为复杂度类的逻辑表征是一个重要的结果，它给出了（与）“算法”无关的不同观点。

— Marzio De Biasi 2012年

特别是，我将根据存在的二阶逻辑列出NP的描述性特征。这纯粹是关于表达能力，而不主要是关于算法。但是，库尔切勒定理表明这种区别不是真实的。

— Suresh Venkat 2012年

您是否会说Razborov-Smolensky的奇偶性证明不在AC0中，其核心是算法结果？那么，查询复杂度的下界又如何呢？比如说量子计算机不能解决查询中的无序搜索问题呢？

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— 罗宾·科塔里

— sdcvvc

对于代数复杂度的许多下界，我不知道在有效算法方面的自然解释。例如：

在以上所有结果中，它们实际上似乎是在使用所涉及函数的属性，该属性本身似乎与任何特定算法的存在无关（更不用说有效的算法了）。

对于非代数结果，有以下几点想法：

对于排序下限的标准计数参数似乎没有关于有效算法的解释。但是，有一个下限[1]的对抗版本，其中存在一种算法，该算法在给定使用比较少的决策树的情况下，有效地构造了决策树排序不正确的列表。但是，对抗版本虽然不难，但比计数证明要困难得多。（请注意，这比应用对手下限技术要强得多，例如在这些说明中，因为在[1]中对手本身是有效的。） $n \log n$
我想我改变了主意，而不是（甚至是原始证明，更不用说Razborov-Smolensky证明了，正如@RobinKothari指出的那样）。尽管交换引理可以看作是一种随机（或确定性）算法，可让您交换电路的两行而不会造成很大的爆炸，但我认为这确实具有与许多复杂度不同的味道，特别是你引用的。例如，威廉姆斯（Williams）的证明至关重要地基于针对特定问题的良好算法的存在。相反，如果可以非构造地证明诸如交换引理之类的东西，那么对于证明不在奇偶校验也将同样有用。 $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

由于这最后两个示例-特别是排序，其中标准证明是非构造性的-在我看来，这个问题可能不仅是关于有效算法的自然解释，而且还以某种方式涉及各种证明的构造性/有效性复杂性结果（取决于OP的想法）。也就是说，标准排序下限不是建设性的或算法的，但是存在对相同结果的建设性的算法证明。

[1] Mall的Atallah和SR 的 Kosaraju 基于敌人的排序下限。通知。程序来吧 13（2）：55-57，1981。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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