识别顶点传递图的复杂性

我不擅长涉及小组的复杂性理论，因此，如果这是众所周知的结果，我深表歉意。

问题1.令为n阶的简单无向图。确定G是否为顶点传递的计算复杂度（以n表示）是多少？$G$$n$$n$$G$

回想一下，如果A u t（G ）对V （G ）进行传递，则图是顶点传递的$G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

我不确定上面的定义是否允许多项式时间算法，因为它可能是的阶是指数级的。$\mathrm{Aut}(G)$

但是，顶点传递图具有一些其他结构属性，可以有效利用它们来确定它们，因此我不确定上述问题的状态是什么。

具有更多结构的顶点传递图的另一个有趣的子类是Cayley图的类。因此自然也提出以下相关问题

问题2.确定图是否为Cayley图的计算复杂度是多少？$G$

我没有一个完整的答案，但我认为这两个问题都是公开的。

Jajcay，Malnič和Marušič的论文[3]与您的第一个问题有关。它们提供了一些测试顶点传递性的工具。他们在引言中说：

对于给定的有限图，很难确定Γ是否是顶点传递的，并且最终答案通常只有在确定Γ的完全同构群的很大一部分之后才能得出。$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

注意，可以通过测试图形同构次来进行顶点传递性测试。的两个副本ģ和ģ '你的图表，具有独特的锚（像长度的路径Ñ + 1）在Ü ∈ V （G ^ ）和v ∈ V （G ^ '）。当且仅当原始图具有将u映射到v的自同构时，G与G '之间才存在同构。因此，您可以通过固定顶点来测试顶点相变性$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$，并检查是否存在将 x映射到所有其他顶点的自同构。$x$$x$

还要注意，如果可以在多项式时间内完成顶点传递性测试，那么顶点传递图的同构测试也是如此。这是因为，当且仅当两个不相交联合是顶点可传递的时，两个顶点可传递图才是同构的。我相信顶点传递图的图同构的复杂性是未知的。

对于第二个问题，我发现了部分结果。甲循环图是上的环状基团的Cayley图。Evdokimov和Ponomarenko [2]表明循环图的识别可以在多项式时间内完成。Alspach所著的书[1，第6章：Cayley图，第6.2节：识别]也很有趣，尽管它说：

我们将忽略识别任意图是否为Cayley图的计算问题。取而代之的是，我们始终假定Cayley图是根据建立它们的组以及连接集进行描述的。对于大多数问题，这不是缺点。

1. 贝内克，威尔逊，金马伦。代数图论的主题。剑桥大学出版社，2004年。
2. 埃夫多基莫夫，波诺马连科。循环图：多项式时间内的识别和同构测试。圣彼得堡数学。J.15（2004）813-835。doi：10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay，Malnič，Marušič。关于顶点传递图中的封闭步数。离散数学。307（2007）484-493。doi：10.1016 / j.disc.2005.09.039