是否可以确定系统F（或其他归一化类型的λ演算）中的

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我知道，无法确定未类型化的lambda演算的等价性。引用Barendregt，HP Lambda微积分：其语法和语义。北荷兰省阿姆斯特丹（1984）。： $\beta$

如果A和B是不相交的非空Lambda项集，且它们在相等条件下关闭，则A和B递归不可分割。因此，如果A是在相等条件下封闭的一组非平凡的Lambda项，则A不会递归。因此，我们无法确定问题“ M = x？”。对于任何特定的M。同样，Lambda没有递归模型。

如果我们有一个规范化系统，例如System F，则可以通过减少两个给定的项并比较它们的范式是否相同来确定“ 等效性”。但是，我们可以“从内部”做到吗？是否存在一个System-F组合器，对于两个组合器和如果和具有相同的范式，则我们的，否则，？还是至少可以在 s内完成？构造一个组合器 $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ 这样是当且仅当真正？如果没有，为什么？ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$

— 彼得·普德拉克
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不，不可能。请考虑以下类型的两个居民。 $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

这些是截然不同的正规形式，但不能用lambda项来区分，因为是的展开，而展开在纯类型的lambda演算中保留了观测等价物。 $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

科迪问，如果我们也用等价进行修正，会发生什么情况。由于参数化，答案仍然是否定的。考虑在键入以下两个术语 $\eta$ ： $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

它们是不同的，长形式，但在观察上是等效的。事实上，这种类型的所有功能是等效的，因为 $\beta$ $\eta$ 是单元类型的编码，因此所述类型的所有功能 $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ 必须在扩展上相等。 $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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好吧，与

β, η

$\beta,\eta$

— equivalence

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另一种可能的答案尼尔的完全正确的一项：假设有是一个组合子，在F系统良好的输入，使得上述条件成立。的类型是： $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

事实证明，有一个免费的定理表示这样的术语一定是常数：

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— 科迪
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