什么后果？

46

我们知道和，其中。我们也知道因为后者在对数空间下具有完备的问题，多对一归约，而前者则没有（归因于空间层次定理）。为了了解和之间的关系，首先了解和之间的关系可能会有所帮助。 $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}^2$ $\mathsf{P}$

什么后果？ $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$

关于强什么对于，或较弱的为？ $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ $k>2$ $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\epsilon > 0$

— 阿根廷胡椒
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4

@OrMeir我最近在Wikipedia上针对polyL的文章中添加了对此事实的解释。

— argentpepper 2012年

13

我认为以下是明显的结果，尤其是不足为奇的结果：会暗示，因为否则会与空间层次相矛盾。

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

— 萨金·科洛斯

12

整洁的问题！我认为这绝对是值得的。顺便说一句，这是一个简单的观察，如果

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$ ，则

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$ 。因此，对于CNF-SAT，我们有一个更有效的算法，并且我们驳斥了ETH（指数时间假设）。

— Michael Wehar

3

遵循@MichaelWehar的评论，其涵义来自扩展到较弱假设的标准填充参数：如果

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$ 在

P

$P$ ，则可以在线性空间中解决的任何问题（包括可满足性问题）都可以在时间

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$ 。

— argentpepper 2015年

3

@SajinKoroth：我认为您的评论以及Michael Wehar（以及argentpepper的跟进）都将得到答案……

— Joshua Grochow

26

以下是一个明显的结果：将暗示，因此也意味着。 $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

根据空间层次定理，。如果则。 $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— 沙金·科洛斯（Sajin Koroth）
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小注脚：如果，那么我们有或。

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

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$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ 会反驳指数时间假说。

如果则使用填充参数。这意味着的可满足性问题可以用步来确定，这反驳了指数时间假说。 $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

更一般而言， for 意味着。 $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

（此答案来自@MichaelWehar的评论。）

— 阿根廷胡椒
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感谢您扩大评论！我很感激。:)

— Michael Wehar 2015年

1

此外，最后一个假设还暗示在DSPACE（） DTIME（）中。

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar 2015年

8

组同构（组作为乘法表给出）在P. Lipton，Snyder和Zalcstein中表明此问题在，但是否存在于P中仍然是开放的。最佳当前上限是 -时间，由于它减少了图同构，因此成为将图iso放入P的重要障碍。 $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

让我想知道这将适用于其他哪些自然和重要的问题：即在但具有其最著名的时间上限拟多项式。 $\mathsf{L}^2$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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1

更具体地说，准群同构的更普遍的问题是，它是的子类。

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

而且，组秩问题（给定有限组G作为乘法表和整数k，G是否具有基数的生成集k？）也具有该特性。该算法是刚刚超过的子集的搜索ģ基数的ķ但使用两个重要的事实：（1）每个有限组具有对数的大小和（2）组的成员是在一个发电机组，它等于。

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

要求：如果对于某些，则和。 $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

假设一段。 $L^k \subseteq P$ $k > 2$

从“ 用于识别上下文无关和上下文敏感语言的内存范围 ”中，我们知道。通过空间层次定理，我们知道。 $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

因此，我们得到。 $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

同样，根据萨维奇定理，我们知道。因此，我们得到。 $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— 迈克尔·韦哈
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