哥德尔不完备定理与教会转向论的关系

这可能是一个幼稚的问题，但这是可行的。（编辑-它没有得到支持，但也没有人提供答复；也许这个问题比我想象的更困难，晦涩或不清楚？）

哥德尔的第一个不完全性定理可以证明是停顿问题的不确定性的推论（例如Sipser Ch。6；Scott Aaronson的博客文章）。

从我的理解（通过评论确认），这个证明并不能依赖于教会图灵论题。通过证明在一个完整且一致的正式系统中，图灵机可以解决暂停问题，我们得出了一个矛盾。（另一方面，如果我们仅表明某些有效的程序可以确定停止问题，则我们还需要假设“ Church-Turing”论点来得出矛盾。）

因此，我们可以说这个结果为Church-Turing论文提供了一些直观的支持，因为它表明Turing Machines的局限性意味着普遍的局限性。（Aaronson的博客文章当然支持此观点。）

我的问题是，我们是否可以通过反过头来获得更具体的东西：哥德尔定理对Church-Turing论文有什么形式上的暗示？例如，从直观上看，第一不完全性定理似乎暗示着没有有效的程序可以确定任意图灵机是否停止；可能会推理出这样一个过程的存在暗示了构建完整的一致理论的能力。这个对吗？这些方面是否有结果？$\omega$

（我出于好奇而问-我自己不学习逻辑-因此，我很抱歉这是众所周知的还是研究水平的。在这种情况下，请将其视为参考要求！感谢您的任何评论或回复！）

听起来相关但不相关的问题：丘奇定理和哥德尔不完备定理

编辑：我将尝试使问题更清楚！首先-我的天真直觉是，哥德尔的不完全性至少暗示着对可计算或不可计算的某些限制。这些限制将是无条件的，即，它们应适用于所有计算模型，而不仅仅是图灵机。

所以我想知道是否是这种情况（肯定有暗示，对吧？）。假设是这样，我最好奇它是如何影响Church-Turing论文的，即Turing Machine可以计算出任何可有效计算的概念。例如，似乎存在一种确定图灵机是否暂停的有效程序会与第一不完全性定理相矛盾。这一结果表明，没有一种可能的计算方法可以比图灵机更“强大”。但是这个结果是真的吗？我在评论中有几个类似的问题。我会对听到这些问题之一的答案，文献中的答案的指针，为什么我的整个推理都偏离基础的解释或任何其他评论感到非常感兴趣！

这是一个可能使您开心的哲学答案。

哥德尔的不完备性定理是关于Peano算术的形式系统。因此，他们对计算模型一无所知，至少没有一定的解释。

Peano算术很容易表明存在不可计算的函数。例如，作为一个足以表达图灵机的经典理论，它显示了被排除的中间物的特殊情况，即每个图灵机都将永远停止或运行。然而，从哥德尔的工作中，产生了一个重要的可计算性概念，即（原始）递归函数。因此，联系可计算性的不是定理本身，而是建立定理的证明方法。

不完全性定理的要点可以使用可证明性逻辑以抽象形式表示，这是一种模态逻辑。这给不完全性定理提供了广泛的适用性，远远超出了Peano算术和可计算性。一旦满足某些定点原理，就会出现不完全性。传统的可计算性理论会满足这些定点原理，因此成为不完全性的受害者，我的意思是存在不可分离的ce集。由于Peano算术语句的可证明性和可辩驳性形式是不可分割的ce集，因此传统的Gödel不完全性定理可以看作是可计算性中不完全现象的必然推论。（我在哲学上含糊不清，如果您试图将我理解为数学家，那么您的头部将会受伤。）

我想我们可以就所有这些与非正式的有效性概念（“可以实际计算的东西”）之间的关系采取两种立场：

1. 就我们所知，我们只是一个相当大的有限自动机，能够考虑被称为“图灵机”的虚构超级英雄，它们能够以无穷大的数字（gasp！）进行计算。如果是这样的话，哥德尔就是一个很好的讲故事的人。那么，他的故事如何转化为有效性，是关于将想象力（一定不准确）应用于现实的问题。

2. 由于不完整现象在许多情况下自然而然地出现，当然在所有合理的可计算性概念中也会出现，因此我们得出结论，有效性也必须如此。例如，假设我们可以将图灵机发送到黑洞中，以计算la Joel Hamkin的无限时间图灵机。这给了我们巨大的计算能力，其中的停止神谕是幼儿园的玩具。但是，该模型仍然满足了允许我们证明不可分割集合的存在的基本条件。因此，再一次，计算不是万能的，不完整性是生活中的事实。

我想强调一下Neel的评论，关于不确定性停止和Godel不完全性定理的主要工具是：

1. 通过数字/字符串以及它们之间的关系/功能对句法概念（如证明，计算等）进行编码；
2. 戈德尔定点定理。

如今，语法对象和概念的编码似乎很明显，因为我们已经习惯了数字计算机，但这是通用计算机和软件必不可少的精巧思想。在他的论文中，证明存在通用模拟器所需的一切都在其中。

Godel还表明，我们可以通过简单的算术公式来表示这些语法概念以及通常的TM可计算关系/函数。

简而言之，戈德尔的不完整证明如下：

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

TM的暂停问题的不确定性使用相似的成分：

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

证明非常相似并且使用相同的成分（尽管对于那些对TM较为熟悉但对逻辑了解不多的人，停顿问题的不可判定性可能看起来更简单：不可判定性证明中使用的定点定理的特定实例看起来可能比尽管在哥德尔定理中使用的不动点的特定实例本质上是相同的，但基本思想只是使用数字/字符串和公式/函数对句法对象和概念进行编码，并应用不动点定理。

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps：
请注意，戈德尔定理于1931年发表，而图灵的不确定性于1936年发表。在戈德尔发表论文TM时尚未定义，戈德尔使用了另一个等效模型。IIRC，Godel对解决Hilbert程序的原始目标的结果并不完全满意，因为他不相信自己使用的计算模型确实捕获了算法可计算性的直观概念，只有在Turing关于TM捕获的哲学论点之后，他才感到满意算法可计算性的直观概念。我认为您可以在Godel的作品中读到更多。