噪声奇偶校验（LWE）下限/硬度结果

一些背景：

我有兴趣为错误学习（LWE）问题找到“鲜为人知”的下界（或硬度结果），以及诸如环上错误学习之类的概括。对于特定的定义等，这是Regev进行的一次不错的调查：http : //www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

（R）LWE型假设的标准类型是通过（可能是量子）归约到（可能是理想）晶格上的最短向量问题。已知SVP的通常公式是NP难的，并且相信很难近似到小的多项式因数。（相关：很难将CVP近似到/ most-polynomial /因数内：http : //dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182）我也听说它提到了（关于量子算法）将某些晶格问题（如SVP）近似为较小的多项式近似因子与非阿贝尔隐藏子组问题（由于其自身的原因而被认为很难）有关，尽管我从未见过明确的正式来源。

但是，我对来自学习理论的“噪声奇偶性”问题导致的硬度结果（任何类型）更感兴趣。这些可能是复杂度级别的硬度结果，具体的算法下限，样本复杂度界限，甚至是证明尺寸下限（例如，分辨率）。众所周知（也许很明显），LWE可以看作是“噪声奇偶性/学习奇偶性与噪声”（LPN）问题的推广，（从谷歌搜索中发现）似乎已用于降低编码理论和PAC等领域的硬度学习。

通过环顾四周，我仅发现（轻微次指数）LPN问题的上界，例如http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

题：

我知道LPN在学习社区中是最受信赖的。我的问题是：为什么？

是因为每个人都非常努力，但是还没有人找到好的算法吗？上面的斜体字样（或我遗漏的其他字词）是否存在已知的下界？

如果答案很明确，那么对已知内容和/或对调查/讲义的引用进行简要总结将是很好的。

如果未知数太多，那么“最新技术”的论文越多越好。:)（提前感谢！）

LPN问题确实被认为很难解决，但是像大多数我们认为很难解决的问题一样，其主要原因是许多聪明人试图找到一种有效的算法而失败了。

LPN硬度的最佳“证据”来自奇偶校验问题的高统计查询维度。统计查询捕获了大多数已知的学习算法，除了高斯消除（每当引入噪声时都会失败），哈希和类似于这两种技术的技术。设计非统计查询算法很困难，这是主要瓶颈。LPN硬度的其他证据是它与其他困难问题的关系（如您所指出的LWE，SVP）。

对于SQ硬度，这是Kearns（'98）论文的链接。

为了在这个问题上取得突破，有几个结果：

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$