0-1线性规划：计算最佳配方

考虑维空间，并让是以下形式的线性约束，其中， $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ 和。 $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

显然，具有分裂的效果在两个子集和。包含所有，只有那些满足点，而包含所有，只有那些伪造点。 $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

假设。现在，让为的子集，以使以下所有三个语句均成立： $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

恰好包含个点。 $O$ $n$
这样的个点是线性独立的。 $n$
此类点是与表示的超平面相距最小距离的点。更精确地，让是一个点的距离从超平面。然后，使得满足1和2是这样的情况即 $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ 。换句话说，在满足条件1和2的所有子集中，是使其点与超平面的距离之和最小的一个。 $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

问题

给定，可以有效地计算吗？ $c$ $O$

哪种算法最知名？

$\$

示例 $n = 3$

n = 3的示例

，。 $S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

更新05/12/2012

动机

动机是使用可以确定最佳约束，因为它应该是由的个点定义的超平面。 $O$ $c^*$ $n$ $O$

最优约束是导致最优多位点约束。 $c^*$ $P^*$

最佳多边形是顶点全部为顶点且仅是初始多边形的整数顶点（整数顶点是其坐标均为整数的顶点）的顶点。 $P^*$ $P$

最佳配方

可以对0-1 实例每个约束进行迭代处理，每次将替换为其对应的最佳约束。最后，这将导致最佳的多面体的。然后，由于顶点都和仅初始多面体的顶点整数的，任何算法用于可用于计算最优整数解。我知道能够有效地计算意味着 $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ ，但是仍然存在以下附加问题： $P = NP$

附加问题

在这方面是否有以前的工作？给定一个多边形及其相应的最佳多边形，是否有人已经研究过计算任务？哪种算法最知名？ $P$ $P^*$

— 乔治·卡梅尼（Giorgio Camerani）
source

通过减少子集总和，这似乎很难做到NP。给定二进制整数

，以测试是否存在与

相加的子集，我们可以测试超平面

上是否存在点。您对近似值感兴趣吗？

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan

@ColinMcQuillan：这个问题是为了提供精确的解决方案，但是我当然也对近似值感兴趣。您为什么不将评论变成答案？

— Giorgio Camerani 2012年

@ColinMcQuillan：同样，您的超平面是通过使用等式定义的，而我的是通过不等式定义的。您确定这对硬度没有影响吗？我还没有检查，所以我只是在问。

— Giorgio Camerani 2012年

我对

所有限制有些困惑。如果要查找有关

的凸包的信息，那么运筹学文献中有关于0-1背包多面体的大量结果。在近似公式方面，请参见此。

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— 奥斯汀·布坎南

Answers:

通过减少子集总和，这似乎很难做到NP。假设我们有一个有效的程序来计算。给定以二进制编码的正整数，我们希望测试是否存在与相加的子集。通过抛出大于整数进行预处理。 $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

调用过程以获得一小满足点，合乎您极小性条件（预处理确保）。如果存在，则该集合肯定会在超平面上包含一个点。 $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— 科林·麦奎伦
source

也许我在这里可以俯瞰宏观的东西，但我有2个问题：1）当你说“鉴于二进制整数”你说的是什么意思二进制？

属于

。也许您是用二进制编码的？还是您想说肯定的话？2）为什么要丢弃所有大于

的整数？他们可能有助于解决方案。例如：

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

如果丢掉

则会失去唯一的解

。

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— Giorgio Camerani 2012年

我认为Colin的意思是，如果约束系数

是有理数，以它们通常的二进制表示形式，那么您的问题似乎对NP困难。（混合实数和NP难度总是很棘手。）

a_{i}

$a_i$

— Jeffε12年

@GiorgioCamerani：我确实需要说肯定-我已经更新了答案。

— 科林·麦奎伦

在我看来，您正在尝试获取IP的凸包-本质上，这是cut算法试图实现的目标。尽管从理论上讲，这些方法在实践中效果不佳。

关于有效不等式的产生，有所有理论。shrijver的整数编程理论是一个很好的起点。

— AJ学生
source