下基本递归函数的复杂性结果？

克里斯·普莱斯（Chris Pressey）关于基本递归函数的有趣问题引起了我的兴趣，我正在探索更多并且无法在网络上找到该问题的答案。

该基本递归函数很好地对应指数谱系，$\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$。

从定义看来，直接由下级基本功能决定的决策问题（term？）应该包含在EXP中，实际上应该包含在DTIME中$(2^{O(n)})$; 这些函数还被约束为以其输入长度[1]线性输出字符串。

但另一方面，我看不到任何明显的下限；乍一看，似乎可以认为LOWER-ELEMENTARY可以严格包含NP，或者可能无法包含P中的某些问题，或者很可能是我尚未想到的某种可能性。如果LOWER-ELEMENTARY = NP会非常酷，但我认为这要求太多了。

所以我的问题是：

1. 到目前为止，我的理解正确吗？
2. 对限制较低的基本递归函数的复杂度类有什么了解？
3. （加分）在对递归函数进行进一步限制时，我们是否有任何很好的复杂度级别表征？我特别在想限制$\log(x)$有界求和，我认为它是在多项式时间内运行并产生线性输出；或常数有界求和，我认为它是在多项式时间内运行，并且最多会产生长度的输出$n + O(1)$。

[1]：我们可以证明（我相信）低阶元素功能通过结构归纳法受到这些限制，假设这些功能 $h,g_1,\dots,g_m$ 有复杂性 $2^{O(n)}$ 和位长的输出 $O(n)$ 在长度输入上 $n$。什么时候$f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$，让 $n := \log x$，每个 $g$ 输出长度 $O(n)$，所以 $h$ 有一个 $O(n)$长度输入（因此 $O(n)$长输出）; 计算全部的复杂性$g$s是 $m2^{O(n)}$ 和的 $h$ 是 $2^{O(n)}$，所以 $f$ 有复杂性 $2^{O(n)}$ 和长度的输出 $O(n)$ 如所声称的。

什么时候 $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$， $g$的输出长度为 $O(n)$，因此输出总和的值为 $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$，所以它们的和有长度 $O(n)$。将这些值相加的复杂性受以下因素的限制：$2^n$ （求和数）次 $O(n)$ （每次添加的复杂性） $2^{O(n)}$，并且计算输出的复杂度受制于 $2^{n}$ （计算次数）次 $2^{O(n)}$ （每个的复杂性），给出 $2^{O(n)}$。所以$f$ 有复杂性 $2^{O(n)}$ 和长度的输出 $O(n)$ 如所声称的。

关于（奖励）问题3：在变量中可定义的功能 $\log(x)$有界求和都在复杂度类统一中 $\mathsf{TC}^0$。这是根据SIAM J. Comput在Chandra，Stockmeyer和Vishkin的“恒定深度可缩小性”中的构造进行的。13（1984）显示$n$ 的数量 $n$ 每个位可通过具有多数门的多项式大小恒定深度电路来计算。

通过常数有界求和，您可以获得统一的子类 $\mathsf{AC}^0$。可以将恒定有界求和简化为加法和合成，并且可以使用进位超前方法通过恒定深度的布尔电路来计算加法。

1. “较低的基本功能在EXP中 ”是正确的。它们实际上位于DPSPACE（n）中；从结构归纳可以看出。

2. 这里显示[1]，布尔可满足性SAT位于Grzegorczyk层次结构的最低级别 E ₀，即具有有界递归而不是有界求和。

[1]克里斯蒂安·格罗塞（Cristian Grozea）：NP谓词可在Grzegorczyck（sic！）层次结构的最弱级别中计算。Journal of Automata，Languages and Combinatorics 9（2/3）：269-279（2004）。

基本思想是将给定的二进制长度n的公式编码 为整数n，其值在n中大致呈指数；然后以所述N（而不是n）为界，用量化表示满意分配的存在。

这种方法似乎是从结转Ë ₀至小学低
（和SAT推广到QBF _ķ 任意但固定ķ）。

但是，这并不意味着E ₀包含NP（或者甚至是P），因为众所周知，多时计算会留下E ₂。