P / poly中是否包含NPI?


29

据推测因为相反的话就意味着\ mathsf {PH} = \ Sigma_2。拉德纳定理确定,如果\ mathsf {P} \ ne \ mathsf {NP}\ mathsf {NPI}:= \ mathsf {NP} \ setminus(\ mathsf {NPC} \ cup \ mathsf {P})\ ne \ emptyset。但是,证明似乎并未推广到\ mathsf {P} / \ text {poly},因此,可能性\ mathsf {NPI} \ subset \ mathsf {P} / \ text {poly}\ mathsf {NP} \子集\ mathsf {NPC} \ cup \ mathsf {P} / \ text {poly}似乎是开放的。NPP/polyPH=Σ2PNPNPI:=NP(NPCP)P/polyNPIP/polyNPNPCP/poly

假设NPP/poly(甚至多项式层次结构不会在任何级别折叠),则为NPIP/poly是真的还是假的?有什么证据可以支持和反对呢?


5
因此,“如果NP中的所有问题都是NP完全的或P \ poly中的,将会发生什么?” 一方面,这意味着要进行分解的电路很小
Sasho Nikolov

1
ps:如果您在引用的部分中拼出“ it”,则该帖子更易读。另外,您可能希望使用NPP/poly代替NPP作为假设。
卡夫

4
填充参数不会表明除非NP P / poly 才能实现?
彼得·索尔

3
@PeterShor:我可能很稠密,但是它将如何工作?
Vanessa

8
@Squark:您不是很忙……我还没有确切地知道它会如何工作,我想我对结果略有误报。但是,这是我的基本想法。假设不能用指数级的时间和建议来解决NP完全问题。取一个NP完全问题X,并对其进行填充,以使其最快的算法几乎不成指数。然后是NPI,因此可以在P / poly中解决。这意味着NP完全问题X的解决时间仅比P / poly时间稍慢。通过多项式约简,现在可以以比P / poly时间稍慢的速度解决所有NP完全问题。
彼得·索尔

Answers:


18

根据Schöning对Ladner定理的推广,这是填充参数的一种可能替代方案。要理解这一论点,您需要访问本文(不幸的是,对于许多人来说,这将是酬金的背后):

UweSchöning。在复杂度类中获得对角线集合的统一方法。理论计算机科学18(1):95-103,1982。

我们将应用该论文的主要定理,将和作为语言,并将和作为复杂度类,如下所示:A1A2C1C2

  • A1=(或任何语言)P
  • A2=SAT
  • C1=NPC
  • C2=NPP/poly

为了清楚起见,我们将证明的事实是意味着。NPP/polyNPIP/poly

在的假设下,我们有和。显然,和在有限的变化下是封闭的。Schöning的论文包括证明是递归可表示的(可以在论文中找到其确切定义),而该论证中最难的部分是证明是递归可表示的。NPP/polyA1C1A2C2C1C2C1C2

在这些假设下,该定理暗示存在一种语言,它既不在也不在;并假设,则认为是Karp可还原为,因此。假设在但既不是也不在,则得出。AC1C2A1PAA2ANPANPNPNPP/polyNPIP/poly

有证据证明是递归可表示的。基本上,这意味着存在对确定性图灵机的序列的明确描述,这些图灵机都在所有输入上都停止,并且使得。如果我的论点有误,可能是在这里,如果您确实需要使用此结果,则需要仔细进行操作。无论如何,通过对所有多项式时间非确定性图灵机(可以确定性地进行仿真,因为我们不在乎每个的运行时间)进行NPP/polyM1,M2,NPP/poly={L(Mk):k=1,2,}Mk)以及代表给定语言的布尔电路族大小上限的所有多项式,我相信获得有效的枚举并不困难。本质上,每个可以通过搜索所有可能的布尔电路来测试其对应的多项式时间NTM是否与某些多项式大小的电路家族相符,直到输入字符串的长度为止。如果达成协议,则像NTM那样输出,否则会拒绝(因此表示一种有限的语言)。MkMk

该参数背后的基本直觉(隐藏在Schöning的结果之内)是,您永远不能使两个“不错的”复杂性类(即具有递归表示的类)不相交并且彼此齐平。复杂类的“拓扑”是不允许的:您可以始终在两个类之间适当地构造语言,方法是以某种方式在两个类之间交替使用以获得极长的输入长度。Ladner定理针对和展示了这一点,而Schöning的概括使您可以对许多其他类进行相同的处理。PNPC


7
这是Schöning出版物免费在线链接,包括您所参考的出版物:uni-ulm.de/in/theo/m/schoening/…–
Alessandro Cosentino

1
非常感谢您的回答!有趣的是,我知道Shoening的定理,但出于某种愚蠢的原因,认为它不适用于这种情况。顺便说一句,甚至在sciencedirect中也可以免费获得这些文本
Vanessa

1
@Squark:考虑到P / poly包含非递归语言,怀疑Schöning定理不适用是不明智的。我想很幸运,我们可以将其与NP相交并仍然得到结果。
约翰·瓦特鲁斯

1
@JohnWatrous:是的,这正是我感到困惑的原因
Vanessa

15

我只想写下注释中描述的某个版本的padding参数。我不明白为什么需要差距。我们想证明如果P / poly中不包含NP,则存在P / poly中不包含NP中间问题。

有一个无界函数,使得SAT的电路大小不小于,因此有一个函数是无界的,递增的,并且。让SAT”表示由填充长度的SAT串获得的语言至。然后:fnf(n)gg(n)=o(f(n))nng(n)

  • SAT'在NP中(请参阅下文!)
  • SAT'不在P / poly中:给定SAT'的电路尺寸为,我们得到SAT的电路尺寸为,但小于对于一些。nkng(n)knf(n)n
  • 从SAT到SAT'没有P / poly减少:假设矛盾是,有SAT 大小为电路,允许SAT'门。挑足够大,使得和让。每个SAT'门最多具有输入。通过删除填充输入,我们可以将的SAT'门修剪为少于输入的SAT门,我们可以使用进行模拟-最终的SAT'门最多输入。重复此过程并用手处理,SAT的电路大小约为CnnkNg(N)>2kn>NCnnkCnnCnnk/2CNO(nknk/2nk/4)O(n2k)对于某些小于。nf(n)n

编辑:

的选择有些麻烦。如果您乐意将SAT'放入NP的承诺版本中,则不需要此位。g

将定义为最大整数,以使SAT的长度为字符串不存在大小为电路。通过一种算法定义,该算法计算,在时间或之后停止并返回,并返回此时找到的最大值的平方根的下限。因此是无界的,并且和可以在时间计算出来。现在请注意,对于无限多的,上述论点仅依赖于没有大小为电路的SATf(n)nf(n)ng(n)f(m)m=1,2,nm=ng(n)lim infg(n)/f(n)=0g(n)nnf(n)n

我也觉得很有趣,例如http://blog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf中的SAT漏洞证明。没有NP要求,这是相当容易的:存在一个序列,使得没有电路os size可以检测到长度为 SAT字符串;对于某些将SAT限制为长度为字符串。n1<n2<(nk)knn22ii


1
看到@JohnWatrous的答案后,我想起了Impagliazzo通过填充来证明Ladner定理的方法(请参见Downey和Fortnow的“统一硬语言”附录:cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/uniform.pdf)。实际上,您的证明基本上是Impagliazzo关于Ladner的证明,但已适应这种情况。整齐!
约书亚·格罗肖

1
非常感谢您的回答!抱歉,我没有选择,但是我不得不选择一个,Watrous的论点更容易理解,因为它使用了我已经知道的结果。这是一种相当主观的选择方式,但我做不到。无论如何,有多种方法可以得出有趣的结果真是太好了
Vanessa

1
@Squark:绝对-我还假设Schöning定理不适用。
科林·麦奎伦

-13

(NPI P / poly)(P NP)


8
它既已知又微不足道:如果P = NP,则。这也不是问题,问题是你所写内容的反义词,据我所知,科林令人信服地回答了这个问题。NPINP=PP/pol
Sasho Nikolov

该问题的标题为“ P / Poly中是否包含NPI”,并认为这是一个合理的答案,由于通常定义NPI的方式(取决于P NP),因此不确定其是否真的琐碎...该答案并非如此与其他答案冲突...
vzn

9
实际上,这显然是微不足道的:如果P = NP,则NPI为空。该问题清楚地表述为“ P / poly中未包含NP意味着NPI不在P / poly中。因此,您的答案1)声称一个琐碎的事实是一个开放的问题2)没有解决该问题
Sasho Nikolov

8
一点都不关心。上一次:我的第一条评论,Colin的答案以及问题本身与您所写下的空洞含义的平凡而有趣的相反
Sasho Nikolov

11
-1:有时候感觉失落正好
亚历山德罗·科森蒂诺
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.