最佳NP解算器

修复 NP完全搜索问题，例如SAT的搜索表单。莱文搜索提供了用于求解的算法，该算法在某种意义上是最优的。具体来说，算法是“ 一旦输入吻合，在输入上执行所有可能的程序，一旦某些返回答案测试它是否正确”。从给定一个程序来解决且时间复杂度的意义上讲，这是最佳的 $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ ，时间复杂度的满足 $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

其中是取决于精确计算模型的固定多项式 $p$

的最优性可以用某种更强的方式来表述。即，对于每一个和的程序解决与承诺在时间中，时间复杂性的在限制于输入满足 $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

其中是固定多项式。关键的区别在于，即使，也可以是多项式 $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

的明显“弱点” 是较大的因素在这个范围内。很容易看出，是否有一个算法满足相同形式的由的多项式代替然后。这是因为我们可以将用作通过对答案进行硬编码来解决的某些给定实例的程序。同样，如果可以用的次指数函数代替 $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ 则违反了指数时间假设。但是，以下问题的答案（对我而言）不太明显：

假设指数时间假设和其他公知的猜测（多项式层级的例如非简并性，单向函数存在）如果必要的话，有一个算法求解 ST为每个和的程序解决与承诺在时间中，时间复杂性的限制在输入满足 $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
其中是多项式，是次指数，是任意的 $q$ $f$ $g$

如果答案是肯定的，则是否可以是多项式？的增长率是多少（显然在ETH下至少是指数级的）？如果答案是否定的，如果ETH错误但，多项式存在？ $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— 凡妮莎
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考虑以下算法（Levin算法的一种变体）：

并行运行前算法。此外，并行运行蛮力算法，逐个尝试所有可能的解决方案。（以相同的速度运行所有算法。） $n$

当其中一种算法找到解决方案时停止。

考虑两种情况（假设输入的长度为）： $x$ $n$

是前算法之一。然后，运行时间为。 $Q$ $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

$f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— 尤里
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2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$