基于半定规划的算法的多项式加速

我仍然对计算半定程序（SDP）解决方案的算法的实际运行时间感到困惑。正如罗宾（Robin）在对上述问题的评论中指出的那样，SDP通常无法在多项式时间内求解。

事实证明，如果我们仔细定义SDP并为原始可行区域的界线施加条件，则可以使用椭球方法为求解SDP所需的时间给出多项式界（请参阅第3.2节） L.Lovász中的“ 半定程序和组合优化”）。给定的界限是一个通用的“ 多项式时间 ”，在这里我对一个不太粗略的界限感兴趣。

动机来自对用于量子可分离性问题的两种算法的比较（实际问题在这里不相关，因此请不要停止阅读经典读者！）。该算法基于可转换为SDP的测试层次结构，并且层次结构中的每个测试都位于较大的空间中，也就是说，相应SDP的大小较大。我要比较的两种算法在以下折衷方面有所不同：在第一个算法中，要找到解决方案，您需要爬升层次结构的更多步骤，而在第二个算法中，层次结构的步长较高，但是您需要减少的步骤其中。显然，在此折衷的分析中，用于解决SDP的算法的精确运行时间很重要。这些算法的分析由Navascués等人完成。在arxiv：0906.2731，他们在哪里写：

...具有 $m$ 变量且矩阵大小为的SDP的时间复杂度为（算法迭代产生的额外费用很小）。 $n$ $O(m^2 n^2)$

在另一篇论文中，首次提出这种问题的方法时，作者给出了相同的界限，但是他们使用了更为谨慎的术语“ 算术运算数 ”而不是“ 时间复杂度 ”。

我的问题有两个：

Navascuéset al。的哪个算法/绑定。指什么？
我可以用不那么粗糙的东西（保持相同的假设）替换洛瓦兹中的“多项式时间”吗？

quantum-information semidefinite-programming analysis-of-algorithms

— 亚历山德罗·科森蒂诺
source

我的理解是，椭球方法给出的答案在时间多项式的加法误差之内。对于大多数问题，人们可能会怀疑就足够了。

ϵ

$\epsilon$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

ϵ = Ω (1 / 2^{n})

$\epsilon = \Omega(1/2^n)$

— Suresh Venkat 2012年

@SureshVenkat：是的，椭圆体方法在输入多项式的大小，约束的大小和时间多项式上起作用。问题是，对于我在问题中提到的应用程序，仅说“多项式”是不够的，我需要一个更精确的界限。

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

我对半定形程序的椭圆形方法的细节并不熟悉，但是即使对于线性程序，对椭圆形方法的分析也相当微妙。

首先，需要限制理想椭球算法的迭代次数。令是椭球算法第次迭代中使用的椭球，令是其质心。在理想算法中，分离/隶属度预言系统为您提供一个半空间，其中包含最佳点但不包含质心。下一个椭球是含有最小的椭球。对于每个，我们有 $E_i$ $i$ $c_i$ $h_i$ $x^*$ $c_i$ $E_{i+1}$ $E_i\cap h_i$ $i$ ，其中是维度。因此，给定一个合理的起始椭球，迭代次数是和多项式。计算从和需要（粗略地）的算术运算。所以算术运算的次数也是和 $vol(E_{i+1}) < (1-\frac{1}{n})\cdot vol(E_i)$ $n$ $n$ $\log(1/\varepsilon)$ $E_{i+1}$ $E_i$ $h_i$ $O(n^2)$ $n$ 。 $\log(1/\varepsilon)$
但是，其中一些算术运算是平方根！因此，理想椭球的系数是无理数，因此没有希望在任何合理的时间精确地实际计算。因此，相反，一个计算一个靠近外近似在使用有限精度算术每次迭代。Grötschel，Lovasz和Schrijver证明，如果在第次迭代中使用（说）位精度，我们仍然有 $E_i$ $2^i$ $E_{i+1}$ $\tilde{E}_i \supset E_i$ $10i$ $i$ ，所以由至多一个常数因子的迭代数量的增加。但是现在，第次迭代期间的每个算术运算（包括由分离预言执行的运算）都需要时间。 $vol(\tilde E_{i+1}) < O(1-\frac{1}{n})\cdot vol(\tilde E_i)$ $i$ $O(i~\text{polylog}~i)$

总之，运行椭球算法的总时间是非常粗略的平方运算的次数。由于算术运算的次数是和多项式，因此运行时间也是如此。 $n$ $\log(1/\varepsilon)$

— 杰夫斯
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\sum_{i = 1}^{n. of iterations} O (n^{2})

$\sum_{i = 1}^{\text{n. of iterations}} O(n^2)$

\times O (i polylog i)

$\times O(i \operatorname{polylog}i)$

n

$n$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

n

$n$

，...）。

n^{2}

$n^2$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

还有一件事：约束数量是否也不应出现在分析中的某处？另外，这是专门针对线性程序吗？

— 亚历山德罗·科森蒂诺

您还必须考虑分离预言的运行时间。那就是约束数量出现的地方。对于显式LP，分离预言机仅一次尝试一个约束。对于隐式表示的LP，则更为复杂。

— Jeffε