“可验证的信息”：这是一个已知概念吗？

在我看来，以下内容似乎很自然，我想知道是否已在某处对其进行了研究

考虑一组语言。然后当 st中有，称为“可验证信息”$\mathsf{X} \subset 2^{\lbrace 0, 1 \rbrace^*}$$K \subset \lbrace 0, 1 \rbrace^\omega$$\mathsf{X}$$L \in \mathsf{X}$

（i）给定，每个前缀都在$x \in L$$x$$L$

（ii）给定，每个前缀都在$f \in K$$f$$L$

（iii）给定，对于，的长度前缀在之外$f \notin K$$n$$f$$L$$n >> 0$

例如，是可验证的信息（如果是可计算的）。这可以通过构造一种算法来执行，该算法对长度为所有字符串进行验证，并收集通过验证的那些字符串的长度为的前缀。对于，唯一保留的前缀是正确的前缀$\lbrace f \rbrace$$\mathsf{R}$$f$$n$$m$$n >> m$

但是，如果是可验证的信息，则并不意味着每个都是可计算的：例如，考虑$K$$\mathsf{R}$$f \in K$$K = \lbrace 0, 1 \rbrace^\omega$

一个不平凡的例子 $\lbrace f \rbrace$ 这是 $\mathsf{P}$可验证的如下。考虑$L \in \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ 然后让 $f$ 编码为 $L$ 与相应的 $\mathsf{NP}$ 和 $\mathsf{coNP}$ 证人（即每个 $x \in \lbrace 0, 1 \rbrace^*$， $f$ 编码 $\mathsf{NP}$证人证明 $x \in L$ 或 $\mathsf{coNP}$证人证明 $x \notin L$）

$K\subseteq\{0,1\}^\omega$ 是 $\mathsf{R}$可验证，当且仅当 $K$ 是一个 $\Pi^0_1$类（在Cantor空间中），这一概念已在可计算性理论。它们也称为有效封闭集。

一套 $K$ 是一个 $\Pi^0_1$ iff类是通过递归（可计算）树的无限路径的集合，这是您定义的概念的版本。

专为他们准备的专着：

有效封闭集（Douglas Cenzer和Jeffrey B. Remmel），《逻辑学观点》，剑桥大学出版社，350页。