除“最坏案例”以外的案例的复杂性等级

我们是否有关于平均情况下复杂度的复杂度类？例如，是否存在一个（复杂的）复杂性类别来解决需要花费预期多项式时间才能决定的问题？

另一个问题考虑了最佳案例的复杂性，示例如下：

是否存在一类（自然）问题，它们的决策至少需要几倍的时间？

为了澄清，考虑一些EXP -complete语言。显然，并非所有实例都需要指数时间：有些实例甚至可以在多项式时间内确定。因此，的最佳情况复杂度不是指数时间。$L$$L$$L$

编辑：由于出现了一些歧义，我想尝试进一步澄清它。所谓“最佳情况”复杂度，是指其问题的复杂度受某些函数限制的复杂度类别。例如，将BestE定义为不能及时确定的线性语言类别。象征性地，让表示任意图灵机，并且，和是自然数：c n 0$M$$c$$n_0$$n$

$L \in \mathbf{BestE} \Leftrightarrow$ $\quad (\exists c)(\forall M)[(L(M) = L) \Rightarrow (\exists {n_0})(\forall n > {n_0})(\forall x \in {\{0,1\}^n})[T(M(x)) \ge {2^{c|x|}}]]$

其中表示停止输入之前花费的时间。M $T(M(x))$$M$$x$

我接受定义此类问题非常奇怪，因为我们要求，每台图灵机，无论其功率如何，都不能在确定时间上少于线性指数。$M$

但是请注意，多项式时间对应项（BestP）是自然的，因为每台图灵机都需要时间至少读取其输入。$|x|$

PS：也许，我们不必将其量化为“针对所有图灵机 ”，而必须将其限制为某些预先指定的图灵机类，例如多项式时间图灵机。这样，我们可以定义之类的类，该类是至少需要二次时间才能在多项式时间Turing机器上确定的语言。B e s t （n 2$M$$\mathbf{Best(n^2)}$

PS2：我们还可以考虑电路复杂性，在这种情况下，我们考虑最小的电路大小/深度来决定一种语言。

尽管我无法完全解析您的定义，但是您应该知道，已知的时间层次结构要强得多，尤其是“几乎无处不在”的时间层次结构。

这里是正式声明：对于绑定每次，有语言大号∈ 牛逼我中号é [ Ť （ñ ）]与每一个确定性的算法正确识别属性大号必须同时运行渐近大于ŧ （n ）在非常短的时间t （n ）上，在有限的所有输入上进行输入。 $T(n)$$L \in TIME[T(n)]$$L$$t(n)$$t(n)$

“足够小”是指。$t(n) \log t(n) \leq o(T(n))$

假设我们选择为一个例子，获得硬语言大号。然后，任何能够正确识别L的算法都必须在超过一定长度的所有输入上至少花费2 n / n 2的时间。这似乎就是您在班级BestE中寻找的东西。$T(n)=2^n$$L$$L$$2^n/n^2$

参考：

John G. Geske，Dung T. Huynh，Joel I. Seiferas：关于几乎无处不在的复杂集合和确定性-时间-复杂性类的注释 计算 92（1）：97-104（1991）

有许多类试图解决各种平均情况复杂性的概念。在“复杂性动物园”中，您可能感兴趣的一些类是：

平均水平

启发式

DistNP

（NP，P可简化）

Arora / Barak涵盖了许多相似的类（在第18章中），它们定义了distP，distNP和sampNP。

Impagliazzo的《五个世界》（Five Worlds）表征了所有这些类别之间的确切关系，该问题先前曾在另一个问题中被问及。

至于“最佳情况”复杂性问题，我不确定我是否完全理解您的意思。您在寻找EXP吗？

如果您是指根据所有实例的最佳案例运行时间定义的复杂性类别，那么这并不是一个很好的先验性度量方法，因为您只会查看任何给定问题的琐碎情况。

[扩展Ryan Williams的答案并为您添加一些搜索词]最佳情况复杂性的概念已经有了一个名称：几乎到处（ae）硬度或双重免疫。（Ryan的例子是 -bi-immunity）。如果Ç是一个复杂的类，然后语言大号是Ç -immune如果没有无限的子集大号' ⊆ 大号，使得大号' ∈ Ç。 大号是Ç -bi免疫如果两个大号和它的补¯ $TIME[T(n)]$$\mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L' \subseteq L$$L' \in \mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L$是 Ç -immune。例如，不难证明您对 B e s t E的定义等同于 E双免疫集的类别。$\overline{L} = \Sigma^* \backslash L$$\mathcal{C}$$\mathbf{BestE}$$E$

（从历史上讲：免疫性的概念是Post在1944年首次在可计算性理论中提出的，甚至在定义P之前就已经很久了。Post实际上被认为是“简单集合”-如果集合的互补性是免疫的，则集合是简单的。对于可计算性理论家来说， “免疫”一词通常表示“对可计算集免疫”。在这种情况下，免疫等同于“对ce集免疫”，因为每个无限ce集都包含一个无限可计算集。我相信Post的论文也是第一个介绍该可计算集的。多减一的概念，但我对此不敢保证。）

在谈论算法而不是问题时，不同的情况更有意义。另一方面，复杂度类是关于问题的，而不是算法。因此，由于该定义，对于任何算法，复杂度类始终是最坏的情况。

在复杂性方面，您的目标是知道解决给定问题的任何实例所需的资源数量。因此，您知道对于任何给定的实例和算法，您将只需要这些资源。

在算法分析中，您的目标是确保在问题的任何情况下算法都具有资源的上限。一个微不足道的界限是问题的复杂性类别，因为没有一种有用的算法（确实采取了不必要的步骤）比它花费更多的时间。但是，您可以根据算法的具体情况来改善该界限。

例如，假设您正在分析mergesort。给定解决方案后，您可以在多项式时间内进行确认，因此SORTING以NP表示。但是，通过分析，您可以将其降低到（n * logn）$\Theta$

最好的情况是，找到最少数量的资源对于每个问题都是微不足道的。假设输入的长度为O（n），输出的长度为O（m）。然后，以下TM M始终以O（n）+ O（m）的最佳情况运行：

M {输入，实例，解决方案}

1. 将给定实例与机器中编码的实例进行比较。
2. 如果它们相等，则返回编码的解。
3. 否则，进行暴力搜索。

$O(1)$