所有顶点匹配的最小生成树

我遇到了这个匹配问题，因此我无法写下多项式时间算法。

让 $P, Q$ 是具有顶点集的完整加权图 $P_V$ 和 $Q_V$分别在哪里 $|P_V| = |Q_V|=n$。另外，让$w_P$ 和 $w_Q$ 是边上的权重函数 $P$ 和 $Q$， 分别。

对于双射 $f: P_V \to Q_V$ 我们修改 $Q$ 以以下方式：如果 $f(p) = q$ 和 $f(p^\prime) = q^\prime$ 与 $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ 然后设置 $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$。将此修改图表示为$Q_f$ 然后让 $W(Q_f)$ 是最小生成树的权重之和 $Q_f$。

问题：最小化$W(Q_f)$ 所有双射 $f: P_V \to Q_V$。

这个问题有多难？如果“很难”：近似算法呢？

（摘自评论）这里有一个假设P和Q满足三角形不等式的常数因子近似值的想法。我以为它可以给出2的近似值，但是我现在可以证明的是4的近似值。

（1）在所述的问题中，边缘的重量 $pq$ 在组合图中（对应之后 $p$–$p'$ 和 $q$–$q'$ 确定）是 $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$。相反，我们使用。这最多损失了两倍，但是使问题更易于描述：我们现在尝试在找到生成树，并在找到同构生成树，并且总权重最小。然后，通过这两个树之间的同构来给出和之间的对应关系。$P(pq)+Q(p'q')$$P$$Q$$P$$Q$

（2）在，找到一个最小的生成树，并使用路径加倍的Euler漫游技术找到一条最大权重为两倍的路径。在独立做同样的事情。结果是两个同构树（两个路径）分别是其图的MST权重的最多两倍，因此，最大同构生成树问题的解决方案成本最多是两倍，而原始问题的权重最多是四倍。 。$P$$Q$

（3）最初的问题是由汉密尔顿路径简化而成的NP-完全问题。令从希望测试哈密顿路径存在的图中定义。限定时是在边缘和时不是边缘。让被恰好从一个路径图同样的方式定义。当且仅当定义了的图具有哈密顿路径时，才有总成本的解决方案。可能也可以用来证明某个固定常数以下的不可近似性。$P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$